第4节基本不等式[A级基础巩固]1．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是()A．x＝yB．x＝2yC．x＝2且y＝1D．x＝y或y＝1解析：因为x>0，y>0，所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的充分不必要条件．答案：C2．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x∈时，sinx＋的最小值为4C．当x>0时，＋≥2D．当00时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；对于D，当00，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为()A．16B．9C．4D．2解析：在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)，由题意知2＋1≥5.所以2≥4，≥2，a≥4，a的最小值为4.答案：C4．若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为()A．2B．2C．4D．4解析：由题意知∠APB＝90°，所以|PA|2＋|PB|2＝4，所以≤＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)，所以|PA|＋|PB|≤2，所以|PA|＋|PB|的最大值为2.故选B.答案：B5．(多选题)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则对于＋()A．取得最值时a＝B．最大值是5C．取得最值时b＝D．最小值是解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝2，所以＋＝(a＋b)＝＋≥＋×2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为，此时a＝，b＝.答案：AD6．(2020·晋冀鲁豫名校联考)已知函数f(x)＝x2ex，若a>0，b>0，p＝f，q＝f，r＝1f(ab)，则()A．q≤r≤pB．q≤p≤rC．r≤p≤qD．r≤q≤p解析：因为－＝－＝≥0，所以≥.又≥(a>0，b>0)，所以ab≤≤.又f(x)＝x2ex在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(ab)≤f≤f，即r≤q≤p.答案：D7．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是()A．60B．80C．100D．120解析：若每批生产产品x件，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是元，由基本不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．答案：B8．已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是()A．10B．9C．8D．3解析：由函数f(x)＝ax2＋bx，得f′(x)＝2ax＋b，由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f′(1)＝2a＋b＝2，所以＝＋＝(2a＋b)＝≥＝(10＋8)＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以的最小值为9.答案：B9．已知一次函数y＝－x＋1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最大值时a的值为________．解析：易知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB的方程为＋y＝1(0≤x≤2)．又点P(a，b)在线段AB上，知＋b＝1(0≤a≤2)，所以2≤1，则ab≤，当且仅当＝b，即a＝1，且b＝时取等号，所以当a＝1，且b＝时，ab有最大值.答案：110．(2020·吉安期末检测)已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为________．解析：设t＝sinx＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)．由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)2＝，所以g(t)max＝g(1)＝1，即f(x)的最大值为1.答案：111．在各项都为正数的等比数列{an}中，若a2018＝，则＋的最小值为________．解析：因为{an}为等比数列，所以a2017·a2019＝a＝.所以＋≥2＝2＝4.当且仅当＝，即a2019＝2a2017时，等号成立．所以＋的最小值为4.答案：412．(2020·江门模拟)对任意正数x，满足xy＋＝2－4y2，则正实数y的最大值为________．解析：因为y为正数，xy＋＝2－4y2，所以x＋＝－4y.因为x＋≥2(x为整数)，所以－4y≥2，由y>0，得2y2＋y－1≤0，解得00，b>0)经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋...
