【金版学案】2016-2017学年高中数学第二章平面向量章末复习课新人教A版必修4[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．有关向量的注意点(1)零向量的方向是任意的．(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).专题一有关向量共线问题有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.[例1]已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若ka＋2b与2a－4b平行，求实数k的值．解：法一：向量ka＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)．因为ka＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝1(k－6，2k＋4)．2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．所以解得即实数k的值为－1.法二：因为ka＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝(k－6，2k＋4)，2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，ka＋2b与2a－4b平行，所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0.解得k＝－1.归纳升华1．向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数λ使b＝λa.2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.[变式训练]平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)因为a＝mb＋nc，所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)．所以解得(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)．所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.专题二有关向量的夹角、垂直问题非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，cosθ＝＝.[例2]已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值．解：由已知|a|＝，|b|＝2，|a＋b|＝，所以(a＋b)2＝13.所以a2＋2a·b＋b2＝13，则()2＋2a·b＋22＝13，得2a·b＝6.(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝()2－6＋22＝1，所以|a－b|＝1.所以cosθ＝＝＝＝－.归纳升华1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的，就本例而言，平行四边形两条对角线的夹角应该是θ的补角，即π－θ.[变式训练](2015·重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D．π解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|2＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，所以|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.所以cosθ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案：A专题三有关向量的模的问题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝；(4)应用三角形或平行四边形法则．[例3]设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1解析：法一：因为BC2＝16，所以|BC|＝4.又|AB－AC|＝|CB|＝4，所以|AB＋AC|＝4，因为M为BC的中点，所以BM＝－CM.所以AM＝AB＋BM＝AC＋CM，所以AM＝(AB＋AC)，所以|AM|＝|AB＋AC|＝×4＝2.法二：如图所示，四边形ABDC是平行四边形，又|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以|AD|＝|CB|，所以四边形ABDC是矩形，所以|AM|＝|BC|，又BC2＝16，所以|BC|＝4，所以|AM|＝2.答案：C归纳升华解答该类题目有以下几个关键点：1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．3．数形结合法的运用可使解...
