2016-2017学年高中数学第2讲参数方程3直线的参数方程课后练习新人教A版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知直线(t为参数)，下列命题中错误的是()A．直线经过点(7，－1)B．直线的斜率为C．直线不过第二象限D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离解析：直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D.答案：D2．以t为参数的方程表示()A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线B．过点(－1,2)且倾斜角为的直线C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线D．过点(－1,2)且倾斜角为的直线解析：化参数方程为普通方程得y＋2＝－(x－1)，故直线过定点(1，－2)，斜率为－，倾斜角为.答案：C3．直线(t为参数)的倾斜角为()A．10°B．80°C．100°D．170°解析：消参数t，得＝－＝＝tan100°.∴直线的倾斜角为100°.答案：C4．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为()A．(3，－3)B．(－，3)C．(，－3)D．(4,0)解析：2＋2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，＝6.因此中点为∴答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过点P且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB长为________．解析：直线的参数方程为(s为参数)，曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4.1将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0，设A，B对应的参数分别为s1，s2，∴s1＋s2＝6，s1s2＝10，|AB|＝|s1－s2|＝＝2.答案：26．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，设l与曲线(θ为参数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为________．解析：直线的参数方程为则曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝4，把直线代入x2＋y2＝4得2＋2＝4，t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，则点P到A，B两点的距离之积为2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知抛物线C：(参数为s)，过抛物线C的焦点F作倾斜角为α的直线l，交抛物线C于A，B.(1)将抛物线化为普通方程，并写出直线l以t为参数的参数方程；(2)若AF＝3FB，求倾角α.解析：(1)x＝2＝2，所以抛物线y2＝4x，l的参数方程(2)t2sin2α＝4＋4tcosα，即t2sin2α－4tcosα－4＝0.记A(t1)，B(t2)则消去t1，t2，得32＝，tan2α＝3，故tanα＝，所以α＝.8．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.解析：(1)由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.9．(10分)直线y＝mx(m＞0)与抛物线y＝x2－2x＋2交于A、B两点，在线段AB上有动点P，使|OA|、|OP|、|OB|的倒数成等差数列，求点P的轨迹方程．解析：设直线y＝mx的参数方程为(t为参数，m＝tanα)．∵m＞0，∴α为锐角．2将代入y＝x2－2x＋2并整理得t2cos2α－(2cosα＋sinα)t＋2＝0(*)设方程(*)的两根分别为t1、t2，动点P在直线上对应的参数为t，由＝＋得＝＋.∵A、P、B三点在原点O的上方，∴t1＞0，t＞0，t2＞0，∴t＝＝.设P(x，y)，则由①×2＋②得2x＋y＝4，即2x＋y－4＝0.又∵(*)的判别式Δ＝4cos2α＋4sinαcosα＋sin2α－8cos2α＞0，且α为锐角，即得tanα＞2－2.由①得＝＋tanα＞，则0＜x＜.∴点P的轨迹方程是2x＋y－4＝0(0＜x＜)．3
