高考数学大二轮复习 专题10 系列4选讲 第1讲 坐标系与参数方程真题押题精练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第1讲坐标系与参数方程1.(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解析：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解析：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的1参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.1.已知椭圆C：(φ为参数)，A，B是椭圆C上的动点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为(4，)．(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；(2)利用椭圆C的极坐标方程证明＋为定值，并求△AOB面积的最大值．解析：(1)点D的直角坐标为(2,2)．由题意可设点A的坐标为(2cosα，sinα)，则AD的中点M的坐标为(1＋cosα，＋sinα)，所以点M的轨迹E的参数方程为(α为参数)，消去α可得E的普通方程为(x－1)2＋4(y－)2＝1.(2)证明：椭圆C的普通方程为＋y2＝1，化为极坐标方程得ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，变形得ρ＝.由OA⊥OB，不妨设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋)，所以＋＝＋＝＋＝＝(定值)．所以△AOB的面积S＝ρ1ρ2＝＝＝.易知当sin2θ＝0时，△AOB的面积取得最大值1.2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－)．(1)求圆C的直角坐标方程；(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin(θ－)的公共点，求x＋y的取值范围．解析：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－)，所以ρ2＝4ρsin(θ－)＝4ρ(sinθ－cosθ)．2又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2＋y2＝2y－2x，故圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.(2)设z＝x＋y.由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.将代入z＝x＋y，得z＝－t，又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以|t|≤2，解得－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即－2≤z≤2.故x＋y的取值范围是[－2,2]．3