高考达标检测（二十三）等差数列的3考点——求项、求和和判定一、选择题1．(2017·长沙名校联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{an}的公差d等于()A．－1B．－2C．－3D．－4解析：选C法一：由题意可得解得d＝－3.法二：a1＋a7＝2a4＝－8，∴a4＝－4，∴a4－a2＝－4－2＝2d，∴d＝－3.2．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为()A．37B．36C．20D．19解析：选Aam＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.故选A.3．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(3n－1)B.C．n(n＋1)D.解析：选C依题意得an＋1＝an＋a1，即an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，选C.4．(2016·大同模拟)在等差数列中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于()A．290B．300C．580D．600解析：选B由a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1.由a18＋a19＋a20＝3a19＝87，得a19＝29，所以S20＝＝10(a2＋a19)＝300.5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S9＝18，an－4＝30(n>9)，若Sn＝336，则n的值为()A．18B．19C．20D．21解析：选D因为{an}是等差数列，所以S9＝9a5＝18，a5＝2，Sn＝＝＝×32＝16n＝336，解得n＝21，故选D.6．(2017·烟台模拟)设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝()A．5B．6C．5或6D．6或7解析：选C S6＝5a1＋10d，∴6a1＋15d＝5a1＋10d，得a1＋5d＝0，即a6＝0. 数列{an}是公差d<0的等差数列，∴n＝5或6时，Sn取最大值．7．设{an}是等差数列，d是其公差，Sn是其前n项和，且S5
S8，则下列结论错误的是()A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．当n＝6或n＝7时Sn取得最大值解析：选C由S50.同理由S7>S8，得a8<0.又S6＝S7，∴a1＋a2＋…＋a6＝a1＋a2＋…＋a6＋a7，∴a7＝0，∴B正确； d＝a7－a6<0，∴A正确；而C选项，S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>0，可得2(a7＋a8)>0，由结论a7＝0，a8<0，知C选项错误； S5S8，∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确．选C.二、填空题8．(2017·枣庄模拟)若数列{an}满足a1＝，－＝5(n∈N*)，则a10＝________.解析：因为－＝5，所以是以＝3为首项、5为公差的等差数列，所以＝3＋5(n－1)＝5n－2，即an＝，所以a10＝＝.答案：9．等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，则数列{an}的公差d＝________.解析： am＝＋(m－1)d＝，an＝＋(n－1)d＝，∴(m－n)d＝－，∴d＝，∴am＝＋(m－1)＝，解得＝，即d＝.答案：10．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．解析：法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.所以由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.答案：20三、解答题11．(2017·成都模拟)已知数列{an}各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．(1)设bn＝，求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn.解：(1)证明：因为an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)，所以an＋1＝.因为bn＝，所以bn＋1－bn＝－＝－＝1.又b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项、1为公差的等差数列．(2)由(1)知，bn＝n，所以＝n，即an＝，所以＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝1－＝.12．(2017·沈阳质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知解得故an＝2n－7(n∈N*)．(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－...
