课时限时检测(二十八)平面向量应用举例(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC一定是()A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．8B．4C．2D．1【答案】C3．平面上O，A，B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于()A.B.C.D.【答案】C4．如图4－4－1，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()图4－4－1A．a－bB.a－bC．a＋bD.a＋b【答案】D5．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图4－4－2所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()图4－4－2A.B.πC.πD.π【答案】B6．(2013·湖南高考)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.－1B.C.＋1D.＋2【答案】C二、填空题(每小题5分，共15分)7．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为．【答案】2m/s8．在△ABC中，∠A＝，BC＝，向量m＝，n＝(1，tanB)，且m⊥n，则边AC的长为．【答案】9．如图4－4－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是．图4－4－3【答案】三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知平行四边形ABCD中，M为AB中点，点N在BD上，且BN＝BD，利用向量的方法证明：M、N、C三点共线．【证明】如图所示，设AB＝a，AD＝b，则MN＝MB＋BN＝AB＋BD＝a＋(AD－AB)＝a＋(b－a)＝a＋b.MC＝MB＋BC＝AB＋AD＝a＋b，所以MC＝3MN，又因为M为公共点，所以M、N、C三点共线．11．(12分)设向量a＝(6cosx，－)，b＝(cosx，sin2x)，x∈.(1)若|a|＝2，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最值．【解】(1)|a|＝2，∴＝2，∴cos2x＝，∴cosx＝±，∵x∈，∴cosx＞0，∴cosx＝，∴x＝(2)f(x)＝a·b＝6cos2x－sin2x＝6×－sin2x＝3cos2x－sin2x＋3＝2＋3＝2cos＋3.当x∈时，∈，cos∈，f(x)的最小值为－2＋3，f(x)的最大值为6.12．(13分)如图4－4－4，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0＜θ＜π)，OQ＝OA＋OP，四边形OAQP的面积为S.图4－4－4(1)求OA·OQ＋S的最大值及此时θ的值θ0；(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下求cos(α＋θ0)．【解】(1)由题意知A，P的坐标分别为(1,0)，(cosθ，sinθ)．∵OQ＝OA＋OP＝(1,0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)，∴OA·OQ＝(1,0)·(1＋cosθ，sinθ)＝1＋cosθ.由题意可知S＝sinθ.∴OA·OQ＋S＝sinθ＋cosθ＋1＝sin＋1(0＜θ＜π)．∴OA·OQ＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.(2)∵B，∠AOB＝α，∴cosα＝－，sinα＝.∴cos(α＋θ0)＝cos＝cosαcos－sinαsin＝－×－×＝－.
