第十二章概率、随机变量及其分布12.6离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教版1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称V(X)＝μ＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn＝∑xpi－μ2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根σ＝为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)V(aX＋b)＝a2V(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(√)(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大．(×)(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)11．(教材改编)某射手射击所得环数ξ的概率分布如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．答案0.4解析由可得y＝0.4.2．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则V(ξ)＝________.答案8解析E(ξ)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，V(ξ)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变量η的均值E(η)及方差V(η)分别是____________．答案2和2.4解析设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，V(X)，因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，V(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，V(η)＝V(8－X)＝V(X)＝2.4.4．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为________．答案1＋a,4解析因为＝1，yi＝xi＋a，所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.5．(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．答案解析抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B(10，)，E(X)＝10×＝.2题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的概率分布和均值E(Χ)．解(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意，得随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝×××＝，P(X＝1)＝2×＝＝，P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，P(X＝4)＝2×＝＝，P(X＝6)＝×××＝＝.可得随机变量X的概率分布为X012346P所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值3例2(2016·扬州模拟)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个...
