3.2.1复数的加法与减法[A基础达标]1．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C.z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．2．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A.B．5C．2D．10解析：选B.依题意，对角线AC对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度即为|－3－4i|＝5.4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是()A．2＋4iB．－2＋4iC．－4＋2iD．4－2i解析：选D.依题意有CD＝BA＝OA－OB，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即CD对应的复数为4－2i.5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4解析：选A.因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.6．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．解析：因为z＝3－4i，所以|z|＝5，所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.答案：三7．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．解析：因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2，所以z＝±2－2i.1答案：±2－2i8．如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.解析：因为OA＋OC＝OB，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.因为a，b∈R，所以所以所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.答案：2－4i9．计算：(1)(－i)＋＋1；(2)－＋i；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解：(1)原式＝(－)＋i＋1＝1－i.(2)原式＝＋i＝＋i.(3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数为1，2＋i，－1＋2i.(1)求向量AB，AC，BC对应的复数；(2)判定△ABC的形状．解：(1)OA＝(1，0)，OB＝(2，1)，OC＝(－1，2)，所以AB＝OB－OA＝(1，1)，对应的复数为1＋i，AC＝OC－OA＝(－2，2)，对应的复数为－2＋2i，BC＝OC－OB＝(－3，1)，对应的复数为－3＋i.(2)因为|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．[B能力提升]11．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A．3－2B.－1C．3＋2D.＋1解析：选D.|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝＝＝≤＝＋1.12．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2＝________．2解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1，OM2为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，|OM|＝＝5，|M1M2|＝10.|z1|2＋|z2|2＝|OM1|2＋|OM2|2＝|M1M2|2＝100.答案：10013．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解：z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.又因为z＝13－2i，且x，y∈R，所以解得所以z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.14．(选做题)已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝.(1)求复数z在复平面内对应的点的轨迹；(2)求当z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－z0|＝，即|x＋yi－(2＋2i)|＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，解得(x－2)2＋(y－2)2＝2，所以复数z对应的点的轨迹是以Z0(2，2)为圆心，半径为的圆．(2)当z对应的Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．因为|OZ0|＝2，半径r＝，所以当z＝1＋i时，|z|min＝.34
