核心素养测评二十三角恒等变换(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.计算coscos-sinsin的值为()A.B.C.D.1【解析】选B.由两角和与差的余弦公式得coscos-sinsin=cos=cos=.2.(2020·海口模拟)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点(2,1),则cos2θ=()A.-B.-C.D.【解析】选C.因为角θ的终边过点(2,1),点(2,1)到原点的距离r==,所以cosθ==,sinθ==,所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=-=.3.(2019·厦门模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-,2),则tan的值为()A.-3B.-C.-D.-【解析】选A.因为角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(-,2),所以tanα==-,则tan===-3.4.cos2+sin2=()A.1B.1-cos2xC.1+cos2xD.1+sin2x【解析】选D.cos2+sin2=+=(1+sin2x+1+sin2x)=1+sin2x.5.(2019·武汉模拟)已知α∈,cos=,则sinα的值等于()A.B.C.D.-【解析】选C.由已知sin==,则sinα=-cos=sinsin-coscos=×-×=.6.(1+tan18°)·(1+tan27°)的值是()A.B.1+C.2D.2(tan18°+tan27°)【解析】选C.原式=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan18°tan27°+tan45°(1-tan18°tan27°)=2.7.(多选)已知函数f=sinx·sin-的定义域为,值域为,则n-m的值不可能是()A.B.C.D.【解析】选CD.f=sinx·sin-=sinx-=sin2x+sinxcosx-=+sin2x-==sin.作出函数f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题,易得或满足题意,所以n-m的值可能为区间内的任意实数.所以A,B可能,C,D不可能.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知α∈,若sin2α+sin2α=1,则tanα=________;sin2α=________.【解析】sin2α+sin2α=1=sin2α+cos2α⇒sin2α=cos2α⇒tanα=;sin2α===,所以tanα=,sin2α=.答案:9.(2020·北京师大实验中学模拟)若tanα=,则cos2α=________.【解析】因为tanα=,所以cos2α===-.答案:-10.设α∈,β∈,且5sinα+5cosα=8,sinβ+cosβ=2,则cos(α+β)的值为________.【解析】由5sinα+5cosα=8得sin=,因为α∈,α+∈,所以cos=.又β∈,β+∈,由sinβ+cosβ=2,得sin=,所以cos=-,所以cos(α+β)=sin=sin=sin·cos+cos·sin=-.答案:-(15分钟35分)1.(5分)已知cos=3sin,则tan+α=()A.4-2B.2-4C.4-4D.4-4【解析】选B.由已知-sinα=-3sin,即sin=3sin,sin·cos-cossin=3sincos+3cossin,整理可得tan=-2tan=-2tan=-2×=2-4.2.(5分)(2019·武汉八校联考)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=()A.或B.或C.或D.或【解析】选D.因为3π≤θ≤4π,所以≤≤2π,cos≥0,sin≤0,+=+=cos-sin=cos=,所以cos=,所以+=+2kπ,k∈Z或+=-+2kπ,k∈Z,即θ=-+4kπ,k∈Z或θ=-+4kπ,k∈Z.因为3π≤θ≤4π,所以θ=或.3.(5分)《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为α,β,且小正方形与大正方形面积之比为4∶9,则cos(α-β)的值为()A.B.C.D.0【解析】选A.不妨设大、小正方形边长分别为3,2,cosα-sinα=,①sinβ-cosβ=,②由图得cosα=sinβ,sinα=cosβ,①×②得=cosαsinβ+sinαcosβ-cosαcosβ-sinαsinβ=sin2β+cos2β-cos(α-β)=1-cos(α-β),解得cos(α-β)=.4.(10分)已知函数f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈(0,π).(1)求a,θ的值.(2)若f=-,α∈,求sinα+的值.【解析】(1)因为f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数,y1=a+2cos2x为偶函数,所以y2=cos(2x+θ)为奇函数,由θ∈(0,π),得θ=,所以f(x)=-sin2x·(a+2cos2x),由f=0得-(a+1)=0,即a=-1.(2)由(1)得f(x)=-sin4x,因为f=-sinα=-,即sinα=,又α∈,cosα=-,所以sin=sinαcos+cosαsin=.5.(10分)(2019·枣庄模拟)已知sinα+cosα=,α∈,sin=,β∈,(1)求sin2α和tan2α的值.(2)求cos(α+2β)的值.【解析】(1)由已知(sinα+cosα)2=,所以1+sin2α=,sin2α=,又2α∈,所以cos2α==,所以tan2α==.(2)因为β∈,所以β-∈,又sin=,所以cos=,所以sin2=2sincos=,又sin2=-cos2β,所以cos2β=-,又2β∈,所以sin2β=,cos2α==,cosα=,sinα=.所以cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=×-×=-.
