【创新大课堂】（新课标）2016高考数学一轮总复习第三章第5节三角恒等变换练习一、选择题1．(2015·青岛高三期末)已知sin(＋x)＝，则sin2x的值为()A．－B.C．－D.[解析]sin2x＝sin[2(x＋)－]＝－cos[2(x＋)]＝－[1－2sin2(x＋)]＝－.[答案]C(理)2.已知α，β都是锐角，若sinα＝，sinβ＝，则α＋β等于()A.B.C.和D．－和－[解析]由于α，β都为锐角，所以cosα＝＝，cosβ＝＝.所以cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝，所以α＋β＝.[答案]A3．(2015·六安模拟)已知2sinθ＝1＋cosθ，则tan等于()A．2B.C.或不存在D．不存在[解析]当1＋cosθ＝0时，tan不存在．当1＋cosθ≠0时，tan＝＝＝＝＝.[答案]C4．(2015·通化模拟)已知函数f(x)＝＋asincos(π－)的最大值为2，则常数a的值为()A.B．－C．±D．±[解析]因为f(x)＝＋asinx＝(cosx＋asinx)＝cos(x－φ)(其中tanφ＝a)，所以＝2，解得a＝±.[答案]C5．(2015·兰州检测)在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，则角A的值为()A.B.C.D.[解析]由题意知，sinA＝－cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在等式－cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC两边同除以cosB·cosC得tanB＋tanC＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝.[答案]A6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于()A．－B.C．－D.[解析]∵α∈(0，)，2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.[答案]D二、填空题7．(2014·山东高考)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为________．[解析]因为y＝sin2x＋＝sin(2x＋)＋，所以该函数的最小正周期T＝＝π.[答案]π8．(2015·广州模拟)已知cos4α－sin4α＝，且α∈(0，)，则cos(2α＋)＝________.[解析]∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝，∴cos2α＝，又α∈(0，)，∴2α∈(0，π)，∴sin2α＝＝，∴cos(2α＋)＝cos2α－sin2α＝×－×＝[答案]9.＝________.[解析]原式＝＝＝＝＝＝－4.[答案]－410．(2015·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα＝________.[解析]依题设及三角函数的定义得：cosβ＝－，sin(α＋β)＝.又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sinβ＝，cos(α＋β)＝－.∴cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－×(－)＋×＝.[答案]三、解答题11．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，]，f(5α＋π)＝－，f(5β－π)＝，求cos(α＋β)的值．[解析](1)由T＝＝10π得ω＝.(2)由得整理得∵α，β∈[0，]，∴cosα＝＝，sinβ＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.12．(2015·青岛模拟)已知函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减．如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足＝.(1)证明：b＋c＝2a.(2)若b＝c，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，求四边形OACB面积的最大值．[解析](1)由题意知＝，解得ω＝，所以＝.所以sinBcosA＋sinCcosA＝2sinA－cosBsinA－cosCsinA，所以sinBcosA＋cosBsinA＋sinCcosA＋cosCsinA＝2sinA，所以sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sinA，所以sinC＋sinB＝2sinA，所以b＋c＝2a.(2)因为b＋c＝2a，b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝＝OA·OBsinθ＋AB2＝sinθ＋(OA2＋OB2－2OA·OBcosθ)＝sinθ－cosθ＋＝2sin(θ－)＋，因为θ∈(0，π)，所以θ－∈(－，)，当且仅当θ－＝，即θ＝时取最大值，SOACB的最大值为2＋.
