高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.1 离散型随机变量的均值课后导练 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

2.3.1离散型随机变量的均值课后导练基础达标1.袋中有7个白球，3个红球，现采取不放回方式取球，直到取到红球为止.以ξ表示取球次数，则Eξ=()A.811B.107C.307D.611答案：A2.某随机变量ξ的概率分布为：ξ0123P0.1ab0.1且Eξ=1.5，则a=_________，b=_________.答案：a=b=0.43.已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ.解析：每次取1件产品，∴至少需2次，即ξ最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，ξ=4，所以ξ可以取2，3，4.P（ξ=2）=452897108；P（ξ=3）=451487981028792108；P（ξ=4）=1-15145144528.∴ξ的分布列如下：Ξ234P45284514151Eξ=2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）+4×P（ξ=4）=922.4.某工厂对2月份的奖金发放作出了如下规定：在这四周时间里有1周完成生产任务，则得奖金48元；如果有2周完成生产任务，则可得奖金80元；如果有3周完成生产任务，则可得奖金128元；如果4周都完成了生产任务，则可得奖金160元；如果4周都未完成任务，则没有奖金，假设某工人每周完成任务与否是等可能的，求一工人在2月份所得奖金的期望.解析：设该工人在2月份所得奖金为ξ，他每周完成任务的概率为21，P（ξ=0）=04C（21）0（21）4=161，P（ξ=48）=14C（21）1（21）3=41P（ξ=80）=24C（21）2（21）2=83P（ξ=128）=34C（21）3（21）=41P（ξ=160）=44C（21）4=1611∴Eξ=0×161+48×41+80×83+128×41+160×161=84.5.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（1）求甲答对的试题数ξ的概率分布及数学期望.（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解析：（1）ξ的分布列如下：ξ0123P3011032161甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×301+1×103+2×21+3×61=59.（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则P（A）=321202060310361426CCCC，P（B）=15141205656310381228CCCC，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为：P（A·B）=P（A）P（B）=（1-32）·（1-1514)=451∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P（A·B）=1-451=4544综合运用6.某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解析：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ的分布列为：ξxx-aP1-pp 公司每年收益ξ的期望值为Eξ=x（1-p）+（x-a）p=x-ap要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x-ap=0.1a，x=（0.1+p）a，∴应交的保险金为（0.1+p）a.7.一批商品共100件，商家称其中只有10件是次品.为检验其质量的真实情况，现从中随机地抽出5件.（1）求抽出的5件商品中次品数的分布列与期望值；（2）如果抽出的5件商品中，有3件是次品，你如何评价该批商品的质量.解析：（1）按商家所说，抽出的5件商品中的次品数是随机变量ξ，则ξ可以取0到5的6个2整数.如果抽出的5件商品中恰好有k（k=0，1，2，3，4，5）件次品，则其相应的概率为P（ξ=k）=510059010CCCkk.按这个计算公式，并精确到0.001，则可求得ξ的分布列是ξ012345P0.5840.3400.0700.0060.0000.000次品数ξ的期望值是Eξ=0×0.584+1×0.340+2×0.070+3×0.006+4×0.000+5×0.000=0.498.这表明，通常情况下，抽出的5件商品中，只能约有半个次品.（2）由上面的分布列可知，P（ξ=3）=0.006.可见，所抽取的5件商品中有3件是次品的可能性极小，只有0.6%.如此小的概率，在一般情况下是不可能发生的.因此，商家“100件商品中只有10件次品”的说法是不可信的.8.有一个赌场，3个骰子设赌，任何人投掷一次若出现3个六点，可赢100元，否则输掉1元.问这个赌规是否公平？为什么？在上述赌规下，赌场出现了一件意外的事，有人掷出了两个六点，另一颗骰子却被突如其来的不速之客——猫撞飞了，于是赌场出现了激烈的...