第8天空间向量（2）【课标导航】应用空间向量解决立体几何中的问题一、选择题1.设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量，有下列四个命题①若,，则∥；②若,，则⊥；③若,，则⊥；④若,，则∥其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.已知平面的一个法向量,直线的一个方向向量,则与所成角的余弦值为()A.B.C.D.3.若二面角的两个面的法向量分别为和,则这个二面角的余弦值为()A.B.C.D.以上都不对4.已知平面的一个法向量,点在内,则到的距离为()A.10B.C.D.35.正三棱柱的各棱长都为2,分别为的中点,则的长为()A.2B.C.D.6.正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值()A.B.C.D.17.已知正四面体中,则直线与所成角的余弦值为()A.B.C.D.8．在直三棱柱中，，.已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题9．已知正四面体的棱长为1，为底面的中心，则＝________10.已知向量和直线垂直,点在直线上,则点到直线的距离为.11.四面体中,两两互相垂直,,为中点,,则四面体的体积为.12.ABCD、、、是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0ABAC�，0ACAD�，0ADAB�，用123SSS、、分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则123SSS的最大值是.三、解答题13.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(Ⅰ)证明A1C⊥平面BED；(Ⅱ)求二面角A1－DE－B的余弦值．214．直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；（Ⅰ）求（Ⅱ）求（Ⅲ）15．如图，在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是线段PC的中点．[（Ⅰ）求异面直线AP与BE所成角的大小；（Ⅱ）若点F在线段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值为，求的值．ABCDFPE（第22题）316．如图，在等腰梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.【链接联赛】（2010一试7）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则4第8天空间向量（2）1—8;CDDB，CCCA9.;10.11.12.813.（Ⅰ）略（Ⅱ）设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥，n⊥.∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．∴cos〈n，〉＝＝.∵〈n，〉等于二面角A1－DE－B的平面角，∴二面角A1－DE－B的余弦值为.14.解.如图，建立空间直角坐标系O—xyz.（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）∴||=.（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=6，|1CB|=5∴cos<1BA，1CB>=30101||||1111CBBACBBA.（3）依题意，得C1（0，0，2）、M（21,21，2），BA1={－1，1，2}，MC1={21,21，0}.∴BA1·MC1=－2121+0=0，∴BA1⊥MC1，∴A1B⊥C1M.15.（1）；（2）．16.（Ⅰ）略（Ⅱ）5令，则，∴.设为平面的一个法向量，由，得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴.∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值，∴.【链接联赛】解法一：如图，以AB所在直线为x轴，线段AB中点O为原点，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11PABB，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111PBABBPBA.设分别与平面PBA1、平面PAB11垂直的向量是),,(111zyxm、),,(222zyxn，则6,03,022111111zyxBPmzxBAm,03,022221211zyxPBnxABn由此可设)3,1,0(),1,0,1(nm，所以cosmnmn�，即6322coscos4.所以410sin7
