2007年高考考前十天数学创新题每天六题第六天2007年5月30日星期三在2007年高考来临之际，我们从2006年全国各地高考试卷和2006—2007学年各地模拟考试卷中精选了设计新颖、构思巧妙的数学创新题，分十天呈现给广大的考生和高三数学老师，期待者通过创新题的研究——考前每一天的思维体操，有一种激情、有一种创新！如2007年上海市春考卷第17题(满分14分)，该题的设计是新颖，要求考试既要编题，又要解题．显然是考能力的“活题”．这是用数学问题考查创新意识的典范，读者应从中有所启发．本套练习所选新题的特点是：新而不难，活而不繁，入口较宽，思路多变，是数学非智力因素训练的好素材.在离高考还有两周的日子里，你不妨拿出半个到一个小时（视学习程度而定），让头脑接受一次风暴！祝愿所有的高三学子笑傲高考，梦圆六月！1、在R上定义运算△：x△y=x(1-y)若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是答案：2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。已知一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实事中提炼出一个不等式组是答案：3、已知，记，（其中），例如：。设，且满足，则有序数组是答案：4、有穷数列{an}，Sn为其前n项和，定义为数列{an}的“凯森和”，如果有99项的数列a1、a2、a3、…、a99的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a1、a2、a3、a4、…a99的“凯森和”=第1页共4页答案：9915、（理）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。（文）设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。（1）求；（2）试写出一个解集为的不等式。解：（理）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，又不等式对任意恒成立，∴，即，∴。（2）一个解集为的不等式可以是。（文）（1）∵幂函数在上是增函数，∴，即，又不等式对任意恒成立，∴，即，∴。（2）一个解集为的不等式可以是。6、（理）已知为正常数。（1）可以证明：定理“若、，则（当且仅当时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；（2）若在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜测的单调性（无需证明）；（3）对满足（2）的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：（1）若、、，则（当且仅当时取等号）。第2页共4页（2）在上恒成立，即在上恒成立，∵，∴，即，又∵∴，即时，，又∵，∴。综上，得。易知，是奇函数，∵时，函数有最大值，∴时，函数有最小值。故猜测：时，单调递减；时，单调递增。（3）依题意，只需构造以为周期的周期函数即可。如对，，此时，即。（文）已知函数，，（Ⅰ）当时，若在上单调递增，求的取值范围；（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对：当是整数时，存在，使得是的最大值，是的最小值；（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对，试构造一个定义在，且上的函数，使当时，，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。第3页共4页解：（Ⅰ）当时，，若，，则在上单调递减，不符题意。故，要使在上单调递增，必须满足，∴。（Ⅱ）若，，则无最大值，故，∴为二次函数，要使有最大值，必须满足，即且，此时，时，有最大值。又取最小值时，，依题意，有，则，∵且，∴，得，此时或。∴满足条件的实数对是。（Ⅲ）当实数对是时，依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。如对，，此时，，故。第4页共4页
