共面的两个结论及应用判断空间四点是否共面我们有两个结论：设三点不共线，则（1）四点共面的充要条件是：存在有序实数对，使；（2）四点共面的充要条件是：对空间任意一点，都有，且；这是两个非常有用的结论，下面我们看看它们的应用：例1已知四点共面，求证：对空间一点存在不全为零的实数，使．解析：由四点共面，得共面，由结论（1）知存在实数使，此时，令，，，即得．评注：此题从共面出发，利用结论（1）再结合向量的加、减运算使问题获解．例2如图1，在平行六面体中，已知分别是上的点，且，，，求平面分对角线所得线段与的比．解析：设，由，得．共面，．从而得，即．评注：解题中巧妙地应用了空间两向量共线的充要条件“”及结论（2），使问题恰到好处的获得解决．例3如图2，矩形所在平面外一点，连．（1）四个三角形的重心是否共面？（2）若四点共面，请指出此面与面的关系；否则，请指出此空间四边形中直角的个数．用心爱心专心1解析：（1）连并延长分别交于；则分别为边的中点；因此四边形是平行四边形，且．又，而，得．显然，四点共面．（3）由（1）知，从而面，即面．又，从而面即面．由于，故面面．评注：本题结合向量的加、减运算，将所求解的问题转化为结论（1），从而产生结论；第二小问我们用线面平行的判定定理得到线面平行．用心爱心专心2
