课时作业20直线与平面垂直时间：45分钟1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(B)A．有且只有一个B．至多一个C．有一个或无数个D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线(B)A．平行B．垂直C．相交D．异面解析：当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．设α表示平面，a，b，l表示直线，给出下列四种说法：①⇒l⊥α；②⇒b⊥α；③⇒b⊥α；④⇒a⊥α.其中正确的是(D)A．①②B．②③C．③④D．②解析：①中当a，b相交时才成立；③中由a∥α，b⊥a知b∥α或b⊂α或b⊥α或b与α相交不垂直；④中当a⊂α时，能找到满足条件的b，从而不正确．4．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2和G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF和EF把这个正方形折起，使点G1、G2、G3重合，重合后的点记为G，那么下列结论成立的是(B)A．SD⊥平面EFGB．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFD．GD⊥平面SEF解析：折起后SG⊥GE，SG⊥GF，又GF与GE相交于G，∴SG⊥平面EFG.5．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(A)A．60°B．45°C．30°D．120°解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(D)A．0°<θ<60°B．0°≤θ<60°C．0°≤θ≤60°D．0°<θ≤60°解析：连接CD1，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.7．正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(A)A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连线的线段D．BC中点与B1C1中点连线的线段解析：由BD1⊥AC，BD1⊥AB1，得BD1⊥平面AB1C，又AP⊥BD1，得P∈平面AB1C∩平面BB1C1C＝B1C.8．(多选)如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论正确的是(ABC)A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°解析：由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以A正确；因为BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以B正确；可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以C正确；由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以D错误．9．如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为4.解析： PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形．10．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是平行．解析：由线面垂直的性质定理可得．11．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件∠A1C1B1＝90°(答案不唯一)时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可，因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)三、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.证明：在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB.13．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝1，点M是棱PC上的一点，且AM⊥PB.(1)求三棱锥CPBD的体积；(2)...
