第二节一元二次不等式及其解法Ｋ一、一元二次不等式的概念1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系三、求解一元二次不等式的程序框图1四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号和b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x10，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集．五、高次不等式与分式不等式的解法1．高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集．数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式；(2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”；(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内．2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集．>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；≥0(≤0)可以转化为Ｋ1．不等式x2>x的解集是(D)2A.B.C.D.∪解析：由x2>x得x(x－1)>0，所以解集为∪.故选D.2．(2013·青海质检)不等式x2－4>3|x|的解集是(A)A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为|x|2－3|x|－4>0，所以(|x|－4)(|x|＋1)>0，所以|x|>4，得x>4或x<－4，故选A.3．不等式>1的解集是．解析： >1⇒－1>0⇒>0，∴x＋2<0⇒x<－2.4．设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则集合{x|x∈A且x∉A∩B}＝[1，3]．解析：A＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x＜1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－4＜x＜1或3＜x＜4}． x∈A且x∉A∩B，∴x∈[1，3]．高考方向1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法及恒成立问题.2.常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合在一起进行考查，难度为中等及以下.1．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为(D)A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1－lg2}D．{x|x<－lg2}解析：由已知条件知不等式f(x)＞0的解集为{x}，所以－1＜10x＜，但10x＞0，所以有0＜10x＜，解得x＜lg＝－lg2.2．不等式≤0的解集为(A)A.B.C.∪D.∪解析：≤0⇒⇒－
