高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题五 解析几何 第四讲 圆锥曲线的综合应用(二)课时作业 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题五解析几何第四讲圆锥曲线的综合应用(二)课时作业理1．(2016·西安模拟)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．解析：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴－b＝－2，解得b＝2.又＝，a2＝b2＋c2，∴a＝4，c＝2.可得椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，直线PA的方程为：y－＝k(x－2)，联立，化为(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝.同理可得：x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，kAB＝＝＝.∴直线AB的斜率为定值.2．(2016·广州五校联考)已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|GF|＋|CF|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝4PA·PB成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.∵OP2＝4PA·PB，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)·(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.3.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点．(1)求抛物线E的标准方程和准线方程；(2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点．解析：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0，将A(2,1)代入得，a＝4.所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.(2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，联立，消去y得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得x＝2或x＝4k1－2，因此点B(4k1－2，(2k1－1)2)，同理可得C(4k2－2，(2k2－1)2)．于是直线BC的斜率k＝＝＝k1＋k2－1，又k1＋k2＝k1k2，所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)[x－(4k2－2)]，即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3.故直线BC恒过定点(2，－3)．4.(2016·金华模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.(1)求t，p的值；(2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA·OB＝5(其中O为坐标原点)．①求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；②过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．解析：(1)由已知得3＋＝4⇒p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，代入可解得t＝±2.(2)①证明：设直线AB的方程为x＝my＋t，A，B，联立得y2－4my－4t＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t.由OA·OB＝5得＋y1y2＝5⇒y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)，即－4t＝－20⇒t＝5，所以直线AB过定点P(5,0)；②由①得|AB|＝|y2－y1|＝·，同理得|CD|＝|y2－y1|＝·，则四边形ACBD面积S＝|AB|·|CD|＝···＝8.令m2＋＝μ(μ≥2)，则S＝8是关于μ的增函数，故Smin＝96，当且仅当m＝±1时取到最小值96.