高考数学二轮复习 专题四 数列、推理与证明 第3讲 数列的综合问题专题突破讲义 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲数列的综合问题1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围．3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．热点一利用Sn，an的关系式求an1．数列{an}中，an与Sn的关系an＝2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1(2017·运城模拟)正项数列{an}的前n项和为Sn，满足a＋3an＝6Sn＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)由a＋3an＝6Sn＋4，①知a＋3an＋1＝6Sn＋1＋4，②由②－①，得a－a＋3an＋1－3an＝6Sn＋1－6Sn＝6an＋1，即(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0， an>0，∴an＋1＋an>0，∴an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3.又a＋3a1＝6S1＋4＝6a1＋4，即a－3a1－4＝(a1－4)(a1＋1)＝0， an>0，∴a1＝4，∴{an}是以4为首项，以3为公差的等差数列，∴an＝4＋3(n－1)＝3n＋1.(2)bn＝2nan＝(3n＋1)·2n，故Tn＝4·21＋7·22＋10·23＋…＋(3n＋1)·2n，2Tn＝4·22＋7·23＋10·24＋…＋(3n＋1)·2n＋1，∴－Tn＝4·21＋3·22＋3·23＋…＋3·2n－(3n＋1)·2n＋1＝21＋3(2＋22＋23＋…＋2n)－(3n＋1)·2n＋1＝21＋3·－(3n＋1)·2n＋1＝－(3n－2)·2n＋1－4，∴Tn＝(3n－2)·2n＋1＋4.思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1(2017届湖南省娄底市二模)设数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满足bn＝＋22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，由Sn＝2n＋1－2，得Sn－1＝2n－2(n≥2)，∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n(n≥2)，又a1也符合，∴an＝2n(n∈N*)．(2)bn＝＋22n－1＝＋22n－1＝＋22n－1，Tn＝＋(2＋23＋25＋…＋22n－1)＝＋＝－－.热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．例2设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜n.(1)解方法一由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.方法二当x≠1时，fn(x)＝－1，则fn′(x)＝，可得fn′(2)＝＝(n－1)2n＋1.(2)证明因为fn(0)＝－1＜0，fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，所以fn(x)在内至少存在一个零点，又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，由于fn(x)＝－1，所以0＝fn(an)＝－1，由此可得an＝＋a＞，故＜an＜，所以0＜an－＝a＜×n＋1＝n.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视．(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件．(3)不等关系证明中进行适当的放缩．跟踪演练2(2016届浙江省宁波市期末)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；(3)求证：－<＋＋＋…＋<.(1)证明a1＝2，a2＝2(2＋2)＝8，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)an＝2(Sn－1＋n)(n≥2)，两式相减，得an...