课下层级训练(四十九)抛物线[A级基础强化训练]1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2【答案】D[分两类a>0，a<0，可得y＝x2或y＝－x2.]2．已知AB是抛物线y2＝8x的一条焦点弦，|AB|＝16，则AB中点C的横坐标是()A．3B．4C．6D．8【答案】C[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又p＝4，所以x1＋x2＝12，所以点C的横坐标是＝6.]3．(2019·皖北协作区联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．x2＝2yD．x2＝y【答案】C[由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则＝4，得p＝1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2＝2y.]4．(2019·山东聊城模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交该抛物线于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝3，则直线l的斜率为()A．1B．C．D．2【答案】D[根据|AF|＝3可知A点到准线的距离为3，故A点的横坐标为2，故纵坐标为2，由AF的坐标解出直线l的斜率k＝2.]5．直线l过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是____________．【答案】x2＝8y[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即抛物线方程为x2＝8y.]6．(2019·山东威海模拟)设O为坐标原点，抛物线C：y2＝4x的准线为l，焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，且|AF|>|BF|，若直线AO与l相交于D，则＝____________．【答案】[过F且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，与抛物线C：y2＝4x联立解得A(3,2)，B，则直线AO方程为y＝x与准线l：x＝－1的交点D，因此＝＝.]7．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝____________．【答案】2[方法一设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝设AB中点M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)． M′(x0，y0)为AB中点，∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，∴y1＋y2＝2，∴k＝2．方法二由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝．由M(－1,1)，得AM＝(－1－x1,1－y1)，BM＝(－1－x2,1－y2)．由∠AMB＝90°，得AM·BM＝0，∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0．又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，整理得－＋1＝0，解得k＝2.]8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．【答案】解(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．(2)由(1)知点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)．又 F(1,0)，∴kFA＝． MN⊥FA，∴kMN＝－．∴FA的方程为y＝(x－1)，MN的方程为y＝－x＋2，联立解方程组得x＝，y＝，∴点N的坐标为．9．(2019·河南郑州月考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
