高考数学复习点拨 构造方差模型巧妙解题VIP免费

构造方差模型巧妙解题设样本数据为12nxxx，，，，用x表示这组数据的平均数，那么12nxxx，，，的方差为22222222121212111[()()()]()()nnnsxxxxxxxxxxxxnnn+++．显然20s≥，其中当12nxxxx时取等号．由于方差是反映样本数据12nxxx，，，波动大小的特征数，而数学中的许多问题又都与变量取值的波动性有关．因此，对于这些问题，若能从方差概念的本质属性的角度进行思考、分析，通过构造方差模型求解，则会收到事半功倍的效果．下面举例说明．一、证明等式例1已知实数abc，，满足8ab，216abc，求证：ab．证明：由题意，知ab，的方差是222211()22sabab2211()2()22ababab22221182328022cc≤．又20s≥，20s∴．于是由方差的意义，得ab．二、证明不等式例2已知00xy，，且1xy，求证：2225(2)(2)2xy≥．证明：由题意，知22xy，的方差是222211(2)(2)[(2)(2)]22sxyxy22211(2)(2)5022xy≥，2225(2)(2)2xy∴≥．三、解方程组例3试求方程组2223333(1)3(2)3(3)xyzxyzxyz，，，的所有实数解．解：由方程（1），（2）考虑xyz，，的方差：2222221111()3303333sxyzxyz，并结合（1）可知1xyz．经检验知此解也适合方程（3）．故1xyz是原方程组的唯一实数解．四、用于求最值例4已知1220051xxx，试求222122005xxx的最小值．解：实数122005xxx，，，的方差为用心爱心专心2222212200512200511()()020052005sxxxxxx≥，222212200512200511()20052005xxxxxx∴≥．∴当且仅当122005xxx时，222122005xxx的最小值是12005．五、求取值范围例5设实数abc，，满足222870(1)66(2)abcabcbca，，求a的取值范围．解：(1)(2)，得2221413bcaa；(2)(1)，得22()21bcaa．由bc，的方差2222221111()[1413(21)]2222sbcbcaaaa3(9)(1)04aa≥，(9)(1)0aa∴≤，解得19a≤≤．用心爱心专心