第38讲数学归纳法[解密考纲]在高考中，数学归纳法常在压轴题中使用，考查利用数学归纳法证明不等式．一、选择题1．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为(B)A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．解析当n＝k时，有(k＋1)·(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，则当n＝k＋1时，有(k＋2)(k＋3)·…·(2k＋1)(2k＋2)显然增乘的＝2(2k＋1)．2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(C)A．2B．3C．5D．6解析n＝4时，24＜42＋1；n＝5时，25＞52＋1，故n0＝5.3．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的关系是(A)A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2解析f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故选A．4．(2018·安徽黄山模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(B)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析根据数学归纳法步骤可知，要证n为正偶数对原式成立，已知假设n＝k(k≥2且k为偶然)时，命题为真，则下一步需证下一个正偶数即n＝k＋2时命题为真，故选B．5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是(D)A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析A，B项与题设中不等方向不同，故A，B项错；C项中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；D项符合题意．6．对于不等式1)时，第一步应验证的不等式是__1＋＋<2__.解析由n∈N*，n>1知，n取第一个值n0＝2，当n＝2时，不等式为1＋＋<2.8．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝____.解析由(S1－1)2＝S，得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得：S3＝.猜想Sn＝.9．设平面上n个圆周最多把平面分成f(n)个平面区域，则f(2)＝__4__，f(n)＝__n2－n＋2__(n≥1，n∈N*)．解析易知2个圆周最多把平面分成4片；n个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n＋1个应与前面n个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋2.三、解答题10．求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合①，②可知，对一切n∈N*等式成立．11．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<2－(n∈N*，n≥2)．证明①当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．②假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，命题成立．由①，②知原不等式在n∈N*，n≥2时均成立．12．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．解析 f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1...
