点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度.例1如图1,PA垂直于边长为4的正方形ABCD所在的平面,PA=3,求点A到平面PBD的距离.解析:连结AC、BD交于点O,连结PO,则AC⊥BD.又PA⊥面ABCD,则PA⊥BD,BD⊥面PAO.过A作AH⊥PO于H,则BD⊥AH,AH⊥面PBD,即AH就是点A到平面PBD的距离.在Rt△PAO中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223POAOPA,即点A到平面PBD的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2如图2,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求点A1到面AB1D1的距离.解析:∵AB1=B1D1=AD1=2a,∴11DABS2223)2(43aa.由111111DABABAADVV,易得A1到面AB1D1的距离为a33.例3如图3,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1C1C与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(3)求CC1到侧面A1ABB1的距离.用心爱心专心图1OHBCDAPB1C1D1A1DCBA图2图3BCAA1C1B1解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC1∥面A1ABB1,所以CC1到面A1ABB1的距离就等于点C到面A1ABB1的距离.由BAACABCAVV11,可得点C到面A1ABB1的距离为3,所以CC1到侧面A1ABB1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.用心爱心专心
