河南省开封四中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i为虚数单位,复数z=1+i,z为其共轭复数,则等于()A.﹣1﹣iB.1﹣iC.﹣1+iD.1+i2.(5分)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为()A.6B.5C.8D.73.(5分)要得到函数的图象,只需将函数y=sin2x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位4.(5分)数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T2015=()A.2B.1C.3D.﹣65.(5分)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()1A.64﹣B.64﹣C.64﹣16πD.64﹣6.(5分)△ABC中,a,b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a,b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为,那么b等于()A.B.C.D.7.(5分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=1相交,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(,+∞)C.(1,)D.(2,+∞)8.(5分)若2m+8n<2,则点(m,n)必在()A.直线x+y=1的左下方B.直线x+y=1的右上方C.直线x+3y=1的左下方D.直线x+3y=1的右上方9.(5分)在二项式的展开式中只有第五项的二项式系数最大,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为()A.B.C.D.10.(5分)在△ABC中,|AB|=3,|AC|=2,=,则直线AD通过△ABC的()A.垂心B.外心C.重心D.内心11.(5分)抛物线C1:的焦点与双曲线C2:的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=()2A.B.C.D.12.(5分)函数f(x)=,直线y=m与函数f(x)的图象相交于四个不同的点,从小到大,交点横坐标依次记为a,b,c,d,下列说法错误的是()A.m∈16.(5分)给出下列命题,其中正确的命题是(把所有正确的命题的选项都填上).①函数y=f(x﹣2)和y=f(2﹣x)的图象关于直线x=2对称;②在R上连续的函数f(x)若是增函数,则对任意x0∈R均有f'(x0)>0成立;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;④若P为双曲线x2﹣=1上一点,F1、F2为双曲线的左右焦点,且|PF2|=4,则|PF1|=2或6;⑤如果(1+x+x2)(x﹣a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0,则展开式中含x4项的系数为﹣5.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*)(Ⅰ)求证:{}为等差数列,并求出{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=﹣1,数列{bn}的前n项和为Bn,对任意n≥2都有B3n﹣Bn>成立,求整数m的最大值.18.(12分)某单位从一所学校招收某类特殊人才.对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:逻辑思维能力运动协调能力一般良好优秀一般221良好4b1优秀13a例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人.由于部分数据丢失,只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为.(Ⅰ)求a,b的值;3(Ⅱ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率;(Ⅲ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.19.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥侧面BB1C1C,AB=BC=1,BB1=2,∠BCC1=.(1)求证:C1B⊥平面ABC;(2)设=λ(0≤λ≤1),且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°,试求λ的值.20.(12分)定圆M:=16,动圆N过点F且与圆M相切,记圆心N的轨迹为E.(I)求轨迹E的方程;(Ⅱ)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,当△ABC的面积最小时,求直线AB的方程.21.(12分)已知函数f(x)=alnx﹣x﹣,a∈R.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)证明:(x﹣1)(e﹣x﹣x)+2lnx<.请考生在第(22),(23),(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做...