第3讲算术平均数与几何平均数1．下列命题正确的是()A．函数y＝x＋的最小值为2B．函数y＝的最小值为2C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－4D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－42．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝()A．1＋B．1＋C．3D．43．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B.C．2D.4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是()A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋45．(2015年湖南)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．46．(2015年陕西)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝[f(a)＋f(b)]，则下列关系式正确的是()A．q＝r＜pB．q＝r＞pC．p＝r＜qD．p＝r＞q7．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为()A．8B．4C．2D．08．(2017年河南郑州第二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．9．(1)设x＞－1，则函数y＝的最小值为________．(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________；10．(1)(2016年湖北七市联考)已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于()A．10B．9C．8D．7(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．第3讲算术平均数与几何平均数1．D解析：y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x＞0时，有最小值2，当x＜0时，有最大值－2.故A项不正确；y＝＝＋≥2，∵≥，∴取不到“＝”．故B项不正确；∵当x＞0时，3x＋≥2·＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”．∴y＝2－有最大值2－4.故C项不正确，D项正确．2．C解析：∵x＞2，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．3．C解析：z＝x2－3xy＋4y2，＝≥＝＝1.当且仅当x＝2y时，取最小值，此时z＝2y2.x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2，最大值为2.故选C.4．D解析：由题意知，ab>0，且3a＋4b>0，所以a>0，b>0.又log4(3a＋4b)＝log2，所以3a＋4b＝ab.所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝7＋＋≥7＋2＝7＋4.当且仅当＝，即a＝4＋2，b＝3＋2时，等号成立．故选D.5．C解析：∵＋＝，∴a＞0，b＞0.∵＝＋≥2＝2，∴ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，∴ab的最小值为2.故选C.6．C解析：p＝f()＝ln＝ln(ab)，q＝f＝ln，r＝[f(a)＋f(b)]＝ln(ab)．因为＞，由f(x)＝lnx在区间(0，＋∞)内是增函数，可知f＞f()，所以q＞p＝r.故选C.7．A解析：方法一，由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)·＝＋1＋4≥4＋4＝8(当且仅当x＝4，y＝2等号成立)．方法二，由x＋2y＝xy＝x·2y≤2＝，∴x＋2y≥8(当且仅当x＝2y时取等号)．8．3解析：由x2＋2xy－3＝0，得y＝＝－x.则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立．所以(2x＋y)min＝3.9．(1)9(2)1解析：(1)因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y＝＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立．故函数y＝的最小值为9.(2)因为x＜，所以5－4x＞0.则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.10．(1)B(2)6解析：＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且仅当a＝b＝时取等号．∵＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9.故选B.(2)由已知，得x＝.方法一，(消元法)∵x>0，y>0，∴00，y>0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·2，当且仅当x＝3y时等号成立．设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0.∴(t－6)(t＋18)≥0.又t>0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.2
