高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第38讲 数学归纳法实战演练 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第38讲数学归纳法实战演练理1．(2015·陕西卷)设fn(x)是等比数列1，x，x2，…，xn的各项和，其中x>0，n∈N，n≥2.设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明．解析：由题设，fn(x)＝1＋x＋x2＋…＋xn，gn(x)＝，x＞0.当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，用数学归纳法可以证明fn(x)＜gn(x)；①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立．②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即fk(x)＜gk(x)．那么，当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk(x)＋xk＋1＜gk(x)＋xk＋1＝＋xk＋1＝.又gk＋1(x)－＝，令hk(x)＝kxk＋1－(k＋1)xk＋1(x＞0)，则h′k(x)＝k(k＋1)xk－k(k＋1)xk－1＝k(k＋1)xk－1(x－1)．所以当0＜x＜1时，h′k(x)＜0，hk(x)在(0,1)上递减；当x＞1时，h′k(x)＞0，hk(x)在(1，＋∞)上递增．所以hk(x)＞hk(1)＝0，从而gk＋1(x)＞.故fk＋1(x)＜gk＋1(x)，即n＝k＋1时不等式也成立．由①和②知，对一切n≥2的整数，都有fn(x)＜gn(x)．综上所述，当x＝1时，fn(x)＝gn(x)；当x≠1时，fn(x)＜gn(x)．2．(2017·安徽模拟)如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)