专题06导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用________表示，且＝.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim＝lim.2．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝lim.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上_____________________的斜率k，即k＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的___________4．基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝________(C为常数);②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④′＝________；⑤()′＝________．(2)初等函数的导数公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)′＝____________________________．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1.变化率例1.【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故,故选B.练习1．设在可导，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题得==4，故选A.练习2．设定义在上的函数的导函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，，故，即，故选：A．2.导数的定义例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y的变化量，分母是x的变化量即可.练习1．设函数在处可导，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】 函数在处可导，∴，∴．选B．练习2．已知函数在处可导，若，则A．B．C．D．【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算.3.求倾斜角例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于时，其图象都依然是一个函数图象，因为是是的减函数，且,当且仅当时等号成立，故在函数的图象的切线中，处的切线倾斜角最大，其值为，由此可知，故选D.练习1．设点P在曲线上，点Q在直线y=2x上，则PQ的最小值为（）A．2B．1C．D．【答案】D【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，设切线的斜...
