第八节空间向量的应用(一)题号12345答案1.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0，2，1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：cosθ＝＝，因此a与b的夹角为30°.故选D.答案：D2．(2013·大纲全国卷)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.解析：如图，连接AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3，所以CE＝＝＝，所以sin∠CDE＝＝.答案：A3．一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：还原正方体如图所示，E、F分别为正方体的顶点，设AD＝1，则AB＝，AF＝1，BE＝EF＝2，AE＝3，CD与AB所成角等于BE与AB所成角，所以余弦值为cos∠ABE＝＝.故选D.答案：D4．(2014·泰安质检)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，向量n＝(1，1，1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是()A．垂直B．不垂直C．平行D．以上都有可能解析： AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)，n＝(1，1，1)，∴AB·n＝0，AC·n＝0，又AB∩AC＝A，∴直线l⊥平面ABC.故选A.答案：A5．在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°1解析：如图所示，由已知三棱柱为正三棱柱，设底面边长为a，则A1A＝a，取BC中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面B1BCC1.DE⊥BC，∴∠ADE为直线AD和平面B1BCC1所成角． AE＝a，DE＝a，∴tan∠ADE＝＝.∴∠ADE＝60°.故选C.答案：C6．已知正六棱锥的底面边长为1，体积为，其侧棱与底面所成的角等于________．解析：设正六棱锥的高为h，侧棱与底面所成的角为θ，则×6××12×h＝，解得h＝，于是tanθ＝，故θ＝.答案：7.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点．设GF、C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β＝________．解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2.则B(2，0，0)，A(2，2，0)，G(0，0，1)，F(1，1，0)，C1(0，0，2)，E(1，2，1)．则BA＝(0，2，0)，GF＝(1，1，－1)，C1E＝(1，2，－1)，所以cos〈BA，GF〉＝，cos〈BA，C1E〉＝，所以cosα＝，cosβ＝，sinα＝，sinβ＝，cos(α＋β)＝－＝0，所以α＋β＝90°.答案：90°8．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．解析：方法一在平面BC1内延长FE与CB相交于G，过B作BH垂直AG，则EH⊥AG，故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角．设正方体的棱长为a，可得BE＝，BG＝a，所以BH＝a，则tan∠BHE＝＝＝.方法二设正方体的边长为3，建立以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴的空间直角坐标系，则A(3，0，3)，E(0，0，2)，F(0，3，1)，则EA＝(3，0，1)，EF＝(0，3，－1)，设平面AFE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥EA，n⊥EF，即3x＋z＝0且3y－z＝0，取z＝3，则x＝－1，y＝1，所以n＝(－1，1，3)，又平面ABC的法向量为m＝(0，0，3)，所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的余弦值为cosθ2＝＝，所以sinθ＝＝，所以tanθ＝.答案：9．(2013·大纲全国卷)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．解析：设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即为圆O和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝，设球的半径为r，则DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面积为4πr2＝16π.答案：16π10．(2013·茂名一模)如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，...
