专题限时集训(十)立体几何中的向量方法(对应学生用书第97页)(限时：40分钟)题型1向量法求线面角1题型2向量法求二面角2,4题型3利用空间向量求解探索性问题31．(2017·郑州二模)如图109，三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．图109(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．[解](1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)法一：(几何法)因为底面ABC是正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥CD，AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面A1ABB1.如图在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D，交直线A1D于点G，连接CG，则BG⊥平面A1CD，所以∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．设三棱柱的棱长为a，可得A1D＝，由△A1AD∽△BGD，可得BG＝，在Rt△BCG中，sin∠BCG＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.法二：(向量法)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，OA1，OD，OC1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以BC＝，A1D＝，DC＝.设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，由，得.设x＝2，解得n＝(2,1,0)．设直线BC与平面A1CD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.2．(2017·合肥二模)如图1010(1)，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E为AD的中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上．图1010(1)图1010(2)(1)求证：BP⊥CE；(2)求二面角BPCD的余弦值.【导学号：07804077】[解](1)证明：因为点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，所以平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，所以CE⊥平面PBE，而BP⊂平面PBE，所以PB⊥CE.(2)以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B，C，D，P.所以CD＝(－1,0,0)，CP＝，PB＝，BC＝(0,2,0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则有，即，令z1＝，可得n1＝.设平面PBC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，即，令z2＝，可得n2＝(2,0，)．所以cos〈n1，n2〉＝＝.考虑到二面角BPCD为钝角，则其余弦值为－.3．(2017·郑州三模)如图1011，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.图1011(1)求证：EF⊥平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．[解](1)证明：在梯形ABCD中，设AD＝CD＝BC＝1， AB∥CD，∠BCD＝，∴AB＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos＝3.∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC⊥AC. CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC＝C，∴AC⊥平面BCF. 四边形ACFE是矩形，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BCF.(2)由(1)知，以CA，CB，CF所成直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD＝CD＝BC＝CF＝1，令FM＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，∴AB＝(－，1,0)，BM＝(λ，－1,1)，设平面MAB的法向量为n1＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB的一个法向量．易知n2＝(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝. 0≤λ≤，∴当λ＝0时，cosθ有最小值，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.4．(2017·河北石家庄二模)如图1012，在三棱柱ABCDEF中，侧面ABED是边长为2的菱形且∠ABE＝，BC＝.四棱锥FABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为点G，且点G在AE上，点M在线段CF上，且CM＝CF.图1012(1)证明：直线GM∥平面DEF；(2)求二面角MABF的...
