高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第三讲 空间向量与立体几何 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何12判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.(√)(6)|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件．(×)1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|＝(D)A．5B.C．2D．32．如果三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)在同一直线上，则(C)A．a＝3，b＝－3B．a＝6，b＝－1C．a＝3，b＝2D．a＝－2，b＝133．已知平面ABC的法向量为n＝(1，－1，1)，直线l的方向向量为m＝(2，2，0)，则直线l与平面ABC平行．4．已知直线l的方向向量a＝(2，－3，)，直线m的方向向量为b＝(1，0，0)，则直线l与直线m的夹角是(A)A．60°B．90°C．120°D．135°一、选择题1．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是(A)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD＝c＋B1D1＝c＋(A1D1－A1B1)＝c＋b－a.42．若A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x的值等于(C)A．19B．－C.D.3.(2014·新课标Ⅱ卷)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)A.B.C.D.解析：如图，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴，则设CA＝CB＝1，则B(0，1，0)，M，A(1，0，0)，N，故BM＝，AN＝，所以cosBM，AN＝＝＝.故选C.4．在三棱柱中ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(C)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：取BC的中点为E，则AE⊥平面BB1C1C，∴AE⊥DE.因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，即有tan∠ADE＝，∴∠ADE＝60°.55．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为(B)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：以A为坐标原点，AC，AA1分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，设底面边长为2a，侧棱长为2b.则A(0，0，0)，C(0，2a，0)，D(0，a，0)，B(a，a，0)，C1(0，2a，2b)，B1(a，a，2b)．AB＝(a，a，2b)，BC1＝(－a，a，2b)，DB＝(a，0，0)，CB＝(a，－a，0)．由AB1⊥BC1，得AB1·BC1＝0，即2b2＝a2.设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量，则⇒又2b2＝a2，令z＝1.解得n＝(0，－，1)．同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝.所以cosθ＝＝＝.故θ＝45°.6．已知非零向量AB与AC满足·BC＝0，且＝，则△ABC为(D)A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：由·BC＝06得|AB|＝|AC|.由＝，得∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．二、填空题7．等边三角形ABC与正方形ABDE有一个公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于．解析：分别取AB、ED的中点F、G，连结FC、FG、CG.由题意知FC⊥AB，FG⊥AB，即∠CFG为二面角CABD的平面角，设AB＝1，则FC＝，在△CFG中，CG＝＝.∴CG＝CF，取FG中点O，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，E，A，C，则M，B＝，N，∴EM＝，AN＝，∴cosEM，AN＝＝＝.8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中正确的序号是①②④．解析：取BD中点为O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD.∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD.7又AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形．而∠ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45°.又AC＝AB＋BD＋DC(设AB＝a)，则a2＝a2＋2a2＋a2＋2·a·a·＋2a·a·＋2a2cos〈AB，DC〉，∴cos〈AB，DC〉＝，∴AB与CD所成的角为60°.三、解答题9．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异...