高考数学复习点拨 由果导因妙解题VIP专享VIP免费

由果导因妙解题“假设结论已知”是笛卡尔的一个解题思想，即从结论入手，用分析的方法，通过等价推理，寻找最终解题所需要的条件，以下举例说明其在立体几何中的应用．例１如图1，在四面体A-VBC中，VA=VB=VC，∠AVB=∠AVC=60°，∠BVC=90°，求证：平面VBC⊥平面ABC．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC内作VD⊥BC，则VD⊥平面ABC，所以VD即为我们所要寻找的直线．要证明VD⊥平面ABC，除了已知的VD⊥BC之外，还需要在平面ABC内找一条直线与VD垂直，哪一条呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则VD与平面ABC内的任意直线均垂直，即必有VD⊥AB，VD⊥AC，但这两个垂直的证明较难入手．还有其他的直线吗？连结AD呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则必有VD⊥AD．通过计算可得到∠VDA=90°，原题得证．证明：设BC的中点为D，连结VD，AD，因为VB=VC，所以VD⊥BC；设VA=VB=VC=1，因为∠AVB=∠AVC=60°，∠BVC=90°，所以AB=AC=1，BC=2，VD=AD=22，所以∠VDA=90°，即VD⊥AD，又已知AD∩BC=D，所以VD⊥平面ABC，又VD平面VBC，所以平面VBC⊥平面ABC．例2如图2，在长方体1111ABCDABCD中，证明：平面1ABD∥平面11CBD．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有1AB，1AD，BD均与平面11CBD平行，选择任意两条均可，不妨选择1AB，1AD．要想证明11ABAD，与平面11CBD平行，需在平面11CBD内寻找两条直线分别与11ABAD，平行．假设11ABAD，与平面11CBD平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1AB的平面11ABCD与平面11CBD相交所得的交线1CD与1AB平行；过1AD的平面11ADCB与平面11CBD相交所得的交线1BC与1AD平行．11CDBC，即为所要寻找的直线．用心爱心专心而易知1CD，1BC分别与1AB，1AD平行，原题得证．证明：因为1111ABCDABCD为长方体，所以有11ADBC∥，即四边形11ABCD为平行四边形，从而有11ABCD∥，又已知1AB平面11CBD，1CD平面11CBD，进而有1AB∥平面11CBD；同理有11ADBC∥，从而有1AB∥平面11CBD；又已知11ABADA，所以有平面1ABD∥平面11CBD．用心爱心专心