第二讲点、直线、平面之间的位置关系(40分钟70分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.给出下列命题:①在空间中,垂直于同一个平面的两个平面平行;②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;③过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;④a,b是两条异面直线,P为空间中一点,过点P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.对于①,借助正方体模型可知错误;对于②,若l⊥α,l∥m,则m⊥α,显然②正确;对于③,显然过一点必存在一条直线与已知平面垂直,如果过一点能够作两条直线与已知平面垂直,则根据直线与平面垂直的性质定理可知,这两条直线平行,但根据已知这两条直线相交,所以③正确;对于④,当异面直线a,b垂直时才可以作出满足要求的平面,所以④错误.2.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:①没有水的部分始终呈棱柱形;②水面EFGH所在四边形的面积为定值;③棱A1D1始终与水面所在平面平行;④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由题图,显然①是正确的,②是错误的;对于③,因为A1D1∥BC,BC∥FG,所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,所以A1D1∥平面EFGH(水面).所以③是正确的;对于④,因为水是定量的(定体积V),所以S△BEF·BC=V,即BE·BF·BC=V.所以BE·BF=(定值),即④是正确的,故选C.3.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直【解析】选C.在题图1中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高,则AD⊥BC,翻折后如题图2,AD与BC变成异面直线,而原线段BC变成两条线段BD,CD,这两条线段与AD垂直,即AD⊥BD,AD⊥CD,且BD∩CD=D,故AD⊥平面BCD,所以AD⊥BC.4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,则异面直线AE和CF所成的角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.如图,设正方体的棱长为a,取线段AB的中点M,连接CM,MF,EF.则MF∥AE,所以∠CFM即为所求角或所求角的补角.在△CFM中,MF=CM=a,CF=a,根据余弦定理可得cos∠CFM=,所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为.5.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,则下列命题中的假命题是()A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60°或90°B.四边形AECF是正方形C.点A到平面BCE的距离为D.该八面体的顶点在同一个球面上【解析】选C.因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形,相邻两条棱所在的直线所成的角是60°,而AE与CE所成的角为90°,A正确;四边形AECF各边长均为1,AC=EF=,所以四边形AECF是正方形,B正确;DB=,该八面体的顶点在同一个球面上,D正确;设A到平面BCE的距离为h,由VE-ABCD=2VA-BCE,得×1×1×=2××h,解得h=,C错误.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知a,b,c为三条不同的直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,α∩β=c.给出下列命题:①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;③若a∥b,则必有a∥c;④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β.正确的是__________________.(填序号)【解析】①中若c与a,b都不相交,则c∥a,c∥b,故a∥b,这与a与b是异面直线矛盾,①正确;②中若α⊥β,b⊥c,则b⊥α,b⊥a,这与a与c是否垂直无关,②错;③中若a∥b,则a∥β,又α∩β=c,所以a∥c,③正确;④中当b∥c时,α与β可能不垂直,④错.答案:①③7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=____________时,CF⊥平面B1DF.【解析】因为B1D⊥平面A1ACC1,所以CF⊥B1D,所以为了使CF⊥平面B1DF,只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F),设AF=x,则有CD2=DF2+FC2,所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.答案:a或2a8.如图所示,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是____________(填上所有正确的序号).①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置都有MN⊥AE;③不...
