中难提分突破特训(八)1．已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4＝2a2，且a1,4，a4成等比数列，设{an}的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<3.解(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，∵a4＝2a2，且a1,4，a4成等比数列，a1>0，∴解得a1＝2，d＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.(2)证明：由(1)知a1＝d＝2，则Sn＝2n＋×2＝n2＋n，设bn＝，则bn＝＝.∴Tn＝＋＋…＋＋，(*)Tn＝＋＋…＋＋，(**)(*)－(**)，得Tn＝＋＋＋…＋－，∴Tn＝2＋＋＋…＋－＝2＋－＝3－－<3.∴Tn<3.2.如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．(1)求证：AE∥平面PCD；(2)求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：因为∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，所以AD∥CE，且AD＝CE，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AE∥CD.因为AE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE∥平面PCD.(2)连接DE，BD，设AE交BD于点O，连接PO.因为四边形ABED是正方形，所以AE⊥BD.因为PD＝PB＝2，O是BD的中点，所以PO⊥BD，则PO＝＝＝.又OA＝，PA＝2，所以△POA是直角三角形，则PO⊥AO，即PO⊥AE.因为BD∩AE＝O，且BD⊂平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，则V四棱锥P－ABCD＝××(2＋4)×2＝2.3．某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A，B两项指标数据进行收集和分析，得到的数据如下表：(1)若通过数据分析，得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系．试根据上表，求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)现要从这5只小白鼠中随机抽取3只，求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率．参考公式：b＝＝，a＝y－bx.解(1)由题意，可得x＝7，y＝3，iyi＝110，＝255，b＝＝.∵a＝y－bx，∴a＝－.∴所求线性回归方程为y＝x－.(2)设1号至5号小白鼠依次为a1，a2，a3，a4，a5，则在这5只小白鼠中随机抽取3只的抽取情况有a1a2a3，a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a5，a2a3a4，a2a3a5，a2a4a5，a3a4a5，共10种．随机抽取的3只小白鼠中至少有一只的B项指标数据高于3的情况有a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a5，a2a3a4，a2a3a5，a2a4a5，a3a4a5，共9种，∴从这5只小白鼠中随机抽取3只，其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率为.4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．解(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1，由ρcos＝－1，得ρcosθ－ρsinθ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，将其代入＋y2＝1中，化简得2t2－t－2＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－1，因为点M在曲线C内，所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝＝.5．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.(1)解不等式f(x)>－x；(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．解(1)不等式f(x)>－x可化为|x－2|＋x>|x＋1|，当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，解得x>－3，即－3x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，综上所述，不等式f(x)>－x的解集为{x|－33}．(2)由不等式f(x)≤a2－2a，可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3，故实数a的取值范围是a≤－1或a≥3.
