中难提分突破特训(八)1.已知各项均为正数的等差数列{an}满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,设{an}的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求证:Tn<3.解(1)根据题意,设等差数列{an}的公差为d,∵a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1>0,∴解得a1=2,d=2,∴数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)证明:由(1)知a1=d=2,则Sn=2n+×2=n2+n,设bn=,则bn==.∴Tn=++…++,(*)Tn=++…++,(**)(*)-(**),得Tn=+++…+-,∴Tn=2+++…+-=2+-=3--<3.∴Tn<3.2.如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.解(1)证明:因为∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,E是BC的中点,所以AD∥CE,且AD=CE,所以四边形ADCE是平行四边形,所以AE∥CD.因为AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AE∥平面PCD.(2)连接DE,BD,设AE交BD于点O,连接PO.因为四边形ABED是正方形,所以AE⊥BD.因为PD=PB=2,O是BD的中点,所以PO⊥BD,则PO===.又OA=,PA=2,所以△POA是直角三角形,则PO⊥AO,即PO⊥AE.因为BD∩AE=O,且BD⊂平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD,则V四棱锥P-ABCD=××(2+4)×2=2.3.某医疗科研项目组对5只实验小白鼠体内的A,B两项指标数据进行收集和分析,得到的数据如下表:(1)若通过数据分析,得知A项指标数据与B项指标数据具有线性相关关系.试根据上表,求B项指标数据y关于A项指标数据x的线性回归方程y=bx+a;(2)现要从这5只小白鼠中随机抽取3只,求其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率.参考公式:b==,a=y-bx.解(1)由题意,可得x=7,y=3,iyi=110,=255,b==.∵a=y-bx,∴a=-.∴所求线性回归方程为y=x-.(2)设1号至5号小白鼠依次为a1,a2,a3,a4,a5,则在这5只小白鼠中随机抽取3只的抽取情况有a1a2a3,a1a2a4,a1a2a5,a1a3a4,a1a3a5,a1a4a5,a2a3a4,a2a3a5,a2a4a5,a3a4a5,共10种.随机抽取的3只小白鼠中至少有一只的B项指标数据高于3的情况有a1a2a4,a1a2a5,a1a3a4,a1a3a5,a1a4a5,a2a3a4,a2a3a5,a2a4a5,a3a4a5,共9种,∴从这5只小白鼠中随机抽取3只,其中至少有一只的B项指标数据高于3的概率为.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcos=-1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)过点M(-1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A,B两点,求点M到A,B两点的距离之和.解(1)曲线C的普通方程为+y2=1,由ρcos=-1,得ρcosθ-ρsinθ=-2,所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)直线l1的参数方程为(t为参数),将其代入+y2=1中,化简得2t2-t-2=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-1,因为点M在曲线C内,所以|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===.5.已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.(1)解不等式f(x)>-x;(2)若关于x的不等式f(x)≤a2-2a的解集为R,求实数a的取值范围.解(1)不等式f(x)>-x可化为|x-2|+x>|x+1|,当x<-1时,-(x-2)+x>-(x+1),解得x>-3,即-3x+1,解得x<1,即-1≤x<1;当x>2时,x-2+x>x+1,解得x>3,即x>3,综上所述,不等式f(x)>-x的解集为{x|-33}.(2)由不等式f(x)≤a2-2a,可得|x-2|-|x+1|≤a2-2a,∵|x-2|-|x+1|≤|x-2-x-1|=3,∴a2-2a≥3,即a2-2a-3≥0,解得a≤-1或a≥3,故实数a的取值范围是a≤-1或a≥3.