规范练(二)(时间：45分钟满分：46分)1．(12分)设函数f(x)＝sinx(cosx＋sinx)－.(1)求函数f(x)的递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若f(B)＝1，b＝2，且b(2－cosA)＝a(cosB＋1)，求△ABC的面积．[规范解答及评分标准](1)函数f(x)＝sinx(cosx＋sinx)－＝sin2x＋－＝sin2x－cos2x＝sin.(3分)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数f(x)的递增区间为(k∈Z)．(6分)(2)因为f(B)＝1，即sin＝1，所以2B－＝2kπ＋(k∈Z)，所以B＝kπ＋(k∈Z)．因为B是三角形的内角，所以B＝.(8分)又因为b(2－cosA)＝a(cosB＋1)，所以由正弦定理，得sinB(2－cosA)＝sinA(cosB＋1)，所以2sinB＝sinA＋sinAcosB＋cosAsinB＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sinC，所以2b＝a＋c.因为b＝2，B＝，所以由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，所以b2＝(a＋c)2－3ac，所以ac＝b2＝4.(10分)所以S＝acsinB＝×4×sin＝2×＝.故△ABC的面积为.(12分)2．(12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：年龄x20304050周均学习成语知识时间y2.5344.5根据表中数据，试求线性回归方程y＝bx＋a，并预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间．参考公式：b＝，a＝y－bx.[规范解答及评分标准](1)设被污损的数字为a，则a有10种情况．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，得a<8，(2分)∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为＝.(4分)(2)由表中数据，计算得x＝35，y＝3.5，(6分)b＝＝＝，a＝y－bx＝3.5－×35＝.(8分)∴y＝x＋.(10分)当x＝50时，y＝4.55.即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时．(12分)3．(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，DE⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求AF与平面AEC所成角的正弦值．[规范解答及评分标准](1)证明：在△ABD中，∠ABD＝，AB＝2AD，由正弦定理得＝，∴sin∠ADB＝＝1，∴∠ADB＝，即BD⊥AD.(2分)∵DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴DE⊥BD.(4分)又AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE.∵BD⊂平面BDEF，∴平面BDEF⊥平面ADE.(6分)(2)由(1)可知，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD.设AD＝1，则BD＝ED＝.以D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，∴AE＝(－1,0，)，AC＝(－2，，0)，AF＝(－1，，)．(8分)设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)．由得令z＝1，则x＝，y＝2.∴平面AEC的一个法向量为n＝(，2,1)．(9分)∴|cos〈n，AF〉|＝＝.(11分)∴直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.(12分)选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－3＝0.(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．[规范解答及评分标准](1)由消去t得y＝2x.把代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，∴直线l的极坐标方程为sinθ＝2cosθ.(5分)(2)∵ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，∴曲线C的方程可化为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.∴圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝.∴|AB|＝2＝.(10分)5．[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．[规范解答及评分标准](1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，即|3x－1|>x，∴3x－1<－x或3x－1>x，解得x<或x>.(4分)(2)当a>0时，f(x)＝要使函数f(x)的图象与x轴没有交点，只需即1≤a<2.当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点．当a<0时，f(x)＝要使函数f(x)的图象与x轴没有交点，只需此时a无解．综上所述，当1≤a<2时，函数f(x)的图象与x轴没有交点．(10分)“
