第5讲椭圆1．从椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.2．椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为()A．20B．22C．24D．283．点P在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此椭圆的离心率是()A.B.C.D.4．(2016年新课标Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.5．(2016年湖南常德模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，线段OB的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线PA，PB，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1·k2＝－，则k3·k4＝()A.B．－C．－D．－46．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.7．(2016年江苏)如图X751，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．图X7518．(2015年陕西)如图X752，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.图X7529．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4且过点(，－2)．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆焦点的直线与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．12第5讲椭圆1．C解析：左焦点为F1(－c,0)，PF1⊥x轴．当x＝－c时，＋＝1⇒y＝b2＝⇒yP＝(负值不合题意，已舍去)，点P.由斜率公式，得kAB＝－，kOP＝－.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP⇒－＝－⇒b＝c.∵a2＝b2＋c2＝2c2，∴＝⇒e＝＝.2．C解析：方法一，①2－②，得|PF1|·|PF2|＝48.则12PFFS＝×48＝24.方法二，利用公式12PFFS＝b2tan，得12PFFS＝b2tan＝24×tan45°＝24.故选C.3．A解析：设|PF1|＝m＜|PF2|，则由椭圆的定义可得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－m，而|F1F2|＝2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列，所以2|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|，即2(2a－m)＝m＋2c.解得m＝(4a－2c)．即|PF1|＝(4a－2c)．所以|PF2|＝2a－(4a－2c)＝(2a＋2c)．又∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即2＋2＝(2c)2.整理，得5a2－2ac－7c2＝0，解得a＝c或a＝－c(舍去)．故e＝＝.4．A解析：方法一，设点M(－c，y0)，OE的中点为N，则直线AM的斜率k＝.从而直线AM的方程为y＝(x＋a)，令x＝0，得点E的纵坐标yE＝.同理，OE的中点N的纵坐标yN＝.∵2yN＝yE，∴＝.∴a＝3c.∴e＝＝.方法二，如图D133，设OE的中点为N，由题意知|AF|＝a－c，|BF|＝a＋c，|OF|＝c，|OA|＝|OB|＝a.图D133∵PF∥y轴，∴＝＝，＝＝.又＝，即＝.∴a＝3c.故e＝＝.5．C解析：设P(m，n)，A(－a,0)，B(a,0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由于线段OB的垂直平分线与椭圆在第一象限的交点为P，因此m＝.若k1·k2＝－，则·＝－.解得n＝a，即P.代入椭圆方程，可得＋·＝1，即a＝2b，则c＝＝b，则k3·k4＝·＝＝－.6．2120°解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝.∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.又由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－.∴∠F1PF2＝120°.7.解析：由题意，得B，C，FB·FC＝0，因此·＝0，即c2－2＋2＝0⇒3c2＝2a2⇒e＝.8．(1)解：由题设知，＝，b＝1.结合a2＝b2＋c2，解得a＝.所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知得Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0.则x1＋x2＝，x1x2＝.从而直线AP，AQ的斜率之和为kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.39．解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)．则2a＝＋＝4.解得a＝2.又由b2＝a2－c2，得b＝2.所以椭圆C的方程是＋＝1.(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,2)，F(0，－2)．则OE·OF＝－8.若直线l不垂直于x轴，不妨设其方程为y＝kx＋2，点E(x1，y1)，F(x2，y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程得到：(2＋k2)x2＋4kx－4＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.所以OE·OF＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝－8.因为0<≤10，所以－8
