课下层级训练(二十八)平面向量的数量积及应用举例[A级基础强化训练]1．(2019·山东省实验中学诊断)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，若a⊥b，则m＝()A．－2B．－C．D．2【答案】D[由题得a·b＝－m＋2＝0，∴m＝2.]2．(2019·山东威海检测)设向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，向量a与b的夹角为锐角，则x的范围为()A．(－2,2)B．(0，＋∞)C．(0,2)∪(2，＋∞)D．[－2,2]【答案】C[由向量a＝(x，－4)，b＝(1，－x)，因为向量a与b的夹角为锐角，则x×1＋(－4)×(－x)＞0且≠，解得x＞0且x≠2，即x的范围为(0,2)∪(2，＋∞)．]3．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为()A．－B．－3C．D．3【答案】C[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.]4．(2019·山东安丘月考)已知向量AB与AC的夹角为，|AB|＝2，|AC|＝3，AM＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，且AM⊥BC，则＝()A．B．6C．D．4【答案】B[由题设有AM·BC＝0，故(λAB＋μAC)·(AC－AB)＝0，整理得－4λ＋9μ＋3(λ－μ)＝0，即λ＝6μ，＝6.]5．(2019·山东临沂期中)已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，则|a＋2b|＝()A．B．C．6D．7【答案】B[ a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，∴|a＋2b|＝＝＝＝.]6．(2019·山东德州检测)在小正方形边长为1的正方形网格中，向量a，b的大小与方向如图所示，则向量a，b所成角的余弦值是()A．B．C．D．【答案】B[如图所示，建立直角坐标系，若取a＝(1,2)，b＝(4,1)，则cos〈a，b〉＝＝＝.]7．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.【答案】－2[ |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]8．(2019·山东日照期中)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，且|2a＋b|＝，则a·b＝________.【答案】[因为|a|＝1，|b|＝2，所以|2a＋b|＝＝＝，∴a·b＝.]9．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则CP·CB＋CP·CA＝________.【答案】4[由题意可建立如图所示的坐标系．可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.]10．(2019·山东泰安期中)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)．(1)若(a＋b)⊥b，求m的值；(2)若a·b＝－1，求向量b在向量a方向上的投影．【答案】解(1)a＋b＝(4，m－2)， (a＋b)⊥b，∴3×4－2(m－2)＝0，∴m＝8.(2)a·b＝3－2m＝－1，∴m＝2，∴a＝(1,2)．∴b在向量a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝＝＝.[B级能力提升训练]11．(2018·山东济南期中)设点O在△ABC的内部，且有OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B．C．2D．【答案】A[分别取AC、BC的中点D、E， OA＋2OB＋3OC＝0，∴OA＋OC＝－2(OB＋OC)，即2OD＝－4OE，∴O是DE的一个三等分点，∴＝3.]12．(2018·山东济南外国语学校期中)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A．1B．C．D．2【答案】D[由于|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ＝－，故a，b两个向量的夹角为120°，结合〈a－c，b－c〉＝60°，画出图象如下图所示．O1A＝a，O1B＝b，O1C＝c，四边形对角互补的话，该四边形是圆的内接四边形，故当O1C为直径时，|c|取得最大值．由于直径所对的角为直角，故|O1C|＝2|O1A|＝2，即|c|取得最大值为2.]13．(2019·山东菏泽月考)已知向量OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，OC＝mOA－nOB(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，则|OC|的最小值为()A．B．C．D．【答案】C[由题得OC＝(3m＋n，m－3n)，所以|OC|＝＝≥＝，当且仅当m＝n＝时，等号成立．]14．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是________.【答案】[由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b＝0，即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－.又 θ∈[0，π]，∴θ＝.]15．已知平面上一定点C(2,0)和直线l∶x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且·＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N∶x2＋(y－1)2＝...
