课时作业12变化率与导数、导数的计算一、选择题1.(2014·山东青岛一模)曲线y=x3-2x在(1,-1)处的切线方程为()A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x+y+2=0解析:由已知,点(1,-1)在曲线y=x3-2x上,所以切线的斜率为y′|x=1=(3x2-2)|x=1=1,由直线方程的点斜式得x-y-2=0,故选A.答案:A2.(2015·郑州质量预测)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为2,则切点的横坐标为()A.3B.2C.1D.解析:设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,由y′=x-,得k=x0-=2,∴x0=3.答案:A3.(2015·福州质检)已知函数y=anx2(an≠0,n∈N*)的图象在x=1处的切线斜率为2an-1+1(n≥2,n∈N*),且当n=1时,其图象经过点(2,8),则a7=()A.B.5C.6D.7解析:因为函数y=anx2(an≠0,n∈N*)的图象在x=1处的切线斜率为y′|x=1=2an,所以可得到2an=2an-1+1,所以an-an-1=.又因为当n=1时,其图象经过点(2,8),即8=a1×22,所以a1=2.所以a7=a1+6d=5.故选B.答案:B4.(2015·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是()A.1B.C.1或D.1或-解析:易知点O(0,0)在曲线f(x)=x3-3x2+2x上,(1)当O(0,0)是切点时,易得a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设切点为P(x0,y0),则y0=x-3x+2x0,且k=f′(x0)=3x-6x0+2.①又k==x-3x0+2,②由①,②联立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,∴所求切线l的方程为y=-x.由得x2+x+a=0.依题意,Δ=-4a=0,∴a=.综上,a=1或a=.答案:C5.(2015·长安质检)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇1函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为()A.ln2B.-ln2C.D.解析:由题意可得,f′(x)=ex-是奇函数,∴f′(0)=1-a=0,∴a=1.∴f(x)=ex+,f′(x)=ex-. 曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,∴=ex-,解方程可得ex=2,∴x=ln2,故选A.答案:A6.(2015·长春调研)已知函数f(x)=x2的图象在点A(x1,f(x1))与点B(x2,f(x2))处的切线互相垂直,并交于点P,则点P的坐标可能是()A.B.(0,-4)C.(2,3)D.解析:由题意知,A(x1,x),B(x2,x),f′(x)=2x,则在A,B两点处的切线斜率k1=2x1,k2=2x2.又两切线互相垂直,所以k1k2=-1,即x1x2=-.两条切线方程分别为l1:y=2x1x-x,l2:y=2x2x-x,联立得(x1-x2)[2x-(x1+x2)]=0. x1≠x2,∴x=,代入l1,解得y=x1x2=-,故选D.答案:D二、填空题7.(2014·广东卷)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为__________.解析:由y=-5ex+3得,y′=-5ex,所以切线的斜率k=y′|x=0=-5,所以切线方程为y+2=-5(x-0),即5x+y+2=0.答案:5x+y+2=08.(2014·江西卷)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是__________.解析:由题意得y′=lnx+x·=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).答案:(e,e)9.(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是__________.解析:由曲线y=ax2+过点P(2,-5),得4a+=-5.①又y′=2ax-,所以当x=2时,4a-=-,②由①②得所以a+b=-3.答案:-3三、解答题10.(2015·揭阳一模改编)对于每一个正整数n,设曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,求a1+a2+…+a99的值.解析:利用导数求得曲线y=xn+1在点(1,1)处的切线方程为y=(n+1)(x-1)+1,2即y=(n+1)x-n,它与x轴交于点(xn,0),则有(n+1)xn-n=0⇒xn=,∴an=lgxn=lg=lgn-lg(n+1),∴a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.11.(2015·绍兴调研)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解析:因为函数f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.g(t...