课时作业12变化率与导数、导数的计算一、选择题1．(2014·山东青岛一模)曲线y＝x3－2x在(1，－1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y－2＝0D．x＋y＋2＝0解析：由已知，点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上，所以切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－2)|x＝1＝1，由直线方程的点斜式得x－y－2＝0，故选A.答案：A2．(2015·郑州质量预测)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.解析：设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.答案：A3．(2015·福州质检)已知函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，且当n＝1时，其图象经过点(2,8)，则a7＝()A.B．5C．6D．7解析：因为函数y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为y′|x＝1＝2an，所以可得到2an＝2an－1＋1，所以an－an－1＝.又因为当n＝1时，其图象经过点(2,8)，即8＝a1×22，所以a1＝2.所以a7＝a1＋6d＝5.故选B.答案：B4．(2015·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是()A．1B.C．1或D．1或－解析：易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，易得a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.①又k＝＝x－3x0＋2，②由①，②联立，得x0＝(x0＝0舍)，所以k＝－，∴所求切线l的方程为y＝－x.由得x2＋x＋a＝0.依题意，Δ＝－4a＝0，∴a＝.综上，a＝1或a＝.答案：C5．(2015·长安质检)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇1函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为()A．ln2B．－ln2C.D.解析：由题意可得，f′(x)＝ex－是奇函数，∴f′(0)＝1－a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝ex＋，f′(x)＝ex－. 曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，∴＝ex－，解方程可得ex＝2，∴x＝ln2，故选A.答案：A6．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是()A.B．(0，－4)C．(2,3)D.解析：由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2.又两切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0. x1≠x2，∴x＝，代入l1，解得y＝x1x2＝－，故选D.答案：D二、填空题7．(2014·广东卷)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________．解析：由y＝－5ex＋3得，y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.答案：5x＋y＋2＝08．(2014·江西卷)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是__________．解析：由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．答案：(e，e)9．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是__________．解析：由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)，得4a＋＝－5.①又y′＝2ax－，所以当x＝2时，4a－＝－，②由①②得所以a＋b＝－3.答案：－3三、解答题10．(2015·揭阳一模改编)对于每一个正整数n，设曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，求a1＋a2＋…＋a99的值．解析：利用导数求得曲线y＝xn＋1在点(1,1)处的切线方程为y＝(n＋1)(x－1)＋1，2即y＝(n＋1)x－n，它与x轴交于点(xn,0)，则有(n＋1)xn－n＝0⇒xn＝，∴an＝lgxn＝lg＝lgn－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.11．(2015·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t...
