课时作业39基本不等式一、选择题1．已知a，b∈R＋且a≠b，x＝，y＝，则x，y的大小关系是()A．xyC．x＝yD．视a，b的值而定解析：由不等式≥2，可得≥，又因为<，所以可得<，即x1时，不等式f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，3]B．[3，＋∞)C.D.解析：当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立，函数f(x)有最小值3.由不等式f(x)≥a恒成立，得实数a的取值范围是(－∞，3]．答案：A3．点(a，b)在直线x＋2y＝3上移动，则2a＋4b的最小值是()A．8B．6C．4D．3解析：由题可得a＋2b＝3，因为2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立．答案：C4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是()A．3B．4C.D.解析： 2xy＝x·2y≤2，∴8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋2，令x＋2y＝t，则t2＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8(舍去)，∴x＋2y的最小值为4.答案：B5．已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是()A.B.C.D.解析： 关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2，又a>0，∴Δ>0，∴x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．故x1＋x2＋的最小值是.答案：D6．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．1B．6C．9D．16解析： 正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1，同理b>1，1∴＋＝＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立，∴最小值为6.答案：B二、填空题7．y＝(－6≤a≤3)的最大值为________．解析：由－6≤a≤3，得3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，得≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立，故y的最大值为.答案：8．已知直线ax＋by＝1经过点(1,2)，则2a＋4b的取值范围是________．解析：由直线ax＋by＝1经过点(1,2)，得a＋2b＝1，则2a＋4b≥2＝2＝2，当且仅当2a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立，所以2a＋4b的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)9．(2017·湖北襄阳一调)已知x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，则＋的最小值为________．解析： x>－1，y>0且满足x＋2y＝1，∴x＋1>0，且(x＋1)＋2y＝2，∴＋＝[(x＋1)＋2y]＝＋≥＋×2＝，当且仅当即时取等号，故＋的最小值为，所以答案应填.答案：三、解答题10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，∴x＋y的最小值为18.11．已知a>0，b>0，＋＝.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1) a>0，b>0，∴＋≥2，即≥2，由此得ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，又a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3的最小值是4.(2)由(1)得ab≥2(a＝b＝时取等号)，∴2a＋3b≥2＝2，2当且仅当2a＝3b时等号成立，故2a＋3b≥2>4>6，故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立．1．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是()A．0B．1C.D．3解析：＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：B2．(2017·银川模拟)若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是()A．2－B.－1C．3＋2D．3－2解析： 圆心为(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴＋＝·(a＋b)＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时等号成立．答案：C3．若实数a，b满足ab－4a－b＋1＝0(a>1)，则(a＋1)(b＋2)的最小值为________．解析：因为ab－4a－b＋1＝0，所以b＝.又a>1，所以b>0，所以(a＋1)(b＋2)＝ab＋2a＋b＋2＝6a＋2b＋1＝6a＋8＋＋1＝6(a－1)＋＋15.因为a－1>0，所以6(a－1)＋＋15≥2＋15＝27，当且仅当6(a－1)＝(a>1)，即a＝2时等号成立，故(a＋1)·(b＋2)的最小值为27....
