2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题22平面向量的数量积及其应用理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．【热点题型】题型一平面向量的数量积【例1】(1)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________．(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为__________；DE·DC的最大值为________．【答案】(1)10(2)11法二以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.法三由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1.当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.【提分秘籍】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【举一反三】(1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．(2)已知点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值是________．【答案】(1)－6(2)－25∴AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝BC·CA＋CA·AB＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×－15×＝－25.法二易知AB＋BC＋CA＝0，将其两边平方可得AB2＋BC2＋CA2＋2(AB·BC＋AB·CA＋BC·CA)＝0，故AB·BC＋AB·CA＋BC·CA＝－(AB2＋BC2＋CA2)＝－25.题型二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．【答案】(1)(2)【提分秘籍】(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cosθ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题．(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．【举一反三】(1)已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____________．(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________．【答案】(1)(－∞，－6)∪(2)2【解析】(1)由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<.由a∥b，得6＝－λ，即λ＝－6.此时b＝－3a，a·b＜0，但a与b的夹角为π，因此λ<，且λ≠－6.(2) b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t|a|·|b|cos60°＋(1－t)|b|2＝t＋1－t＝－t＋1＝0，∴t＝2.题型三平面向量的模及应用【例3】(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝()A．1B.C.D．2(2)(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．【答案】(1)C(2)1＋【解析】【提分秘籍】(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________．(...
