10.1.1复数的概念关键能力·素养形成类型一复数的概念【典例】已知下列命题:①复数a+bi不是实数;②当z∈C时,z2≥0;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a,b,c,d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d.其中真命题的个数是________.【思维·引】根据复数的相关概念进行判断.【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假.①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数.②是假命题,如当z=i时,则z2=-1<0.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.当x=-2时,对应复数为实数.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,只有当a,b,c,d∈R时,结论才成立.答案:0【类题·通】复数a+bi(a,b∈R)中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚数单位的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.【习练·破】请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数.①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0.【解析】①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数.类型二复数的分类【典例】(2019·郑州高二检测)当m为何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i.(1)是虚数.(2)是纯虚数.世纪【思维·引】(1)若复数z是虚数,则其虚部不等于0,同时注意使分式有意义.(2)若复数z是纯虚数,则其实部等于0,虚部不等于0.【解析】(1)当即m≠5且m≠-3时,z是虚数.(2)当即m=3或m=-2时,z是纯虚数.【素养·探】在涉及复数的分类问题中,经常利用核心素养中的数学运算,根据复数的相关概念进行运算,得到要求的结果.本例中条件不变,当m为何值时,z为实数?【解析】当即m=5时z是实数.【类题·通】复数分类的关键(1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z=a+bi(a,b∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z=a+bi(a,b∈R),则①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0,b≠0;④z=0⇔a=0,且b=0.【习练·破】实数k为何值时,复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.【解析】由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1.(2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.(3)当时,z是纯虚数,解得k=4.(4)当时,z=0,解得k=-1.类型三复数相等的条件及应用【典例】(1)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值为________.(2)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值.世纪【思维·引】利用复数相等的充要条件,转化为解方程(组).【解析】(1)由题意得,解得a=11或a=-.答案:11或-(2)因为x2-y2+2xyi=2i,所以解得或【类题·通】复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.【习练·破】(2019·聊城高二检测)已知复数z=-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值.【解析】因为z>0,所以z∈R,所以x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.因为z>0,所以-x>0,且x2-4x+3=0.对于不等式-x>0,x=1满足,x=3不满足,故x=1.
