专题四数列必考点一等差数列、等比数列的基本运算[高考预测]——运筹帷幄1．一般数列通项与递推关系的应用和计算．2．等差(比)数列的通项公式、求和公式及性质的应用．[速解必备]——决胜千里1．等差、等比数列的性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；(2)an＝amqn－m；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sn≠0)2.前n项和公式变形(1)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常数，m≠0，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)等差数列中Sn和an的关系：Sn＝，即an＝－a1，等比数列中Sn与an的关系为Sn＝，即anq＝a1－(1－q)Sn.[速解方略]——不拘一格类型一等差数列的运算[例1](1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝()A.B.C．10D．12解析：基本法：设首项为a1，由S8＝4S4得＝4×，∴a8＝a1＋2a4.∴a1＋7d＝a1＋2a1＋6d，∴d＝2a1，∴a1＝.∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.速解法：由S8＝4S4得8a1＋d＝4×， d＝1，∴a1＝.∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.答案：B方略点评：基本法和速解法各选用了不同的求和公式，比较起来，用a1和d的关系求和较简单.(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11解析：基本法： a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.速解法： a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.答案：A方略点评：1基本法是寻求a1与d的关系，然后用公式求和.速解法是利用等差中项性质转化求和公式.,2在等差数列中，当已知a1和d时，用Sn＝na1＋d，求和.,当已知a1和an或者a1＋an＝a2＋an－1形式时，常用Sn＝＝.1．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.D.解析： a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，将d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)，故选A.答案：A2．(2016·高考全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.答案：C类型二等比数列的运算[例2](1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.解析：基本法： a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又 Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.速解法：由题意可知a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，a6＝64，∴S6＝2＋4＋8＋16＋32＋64＝126，∴n＝6.答案：6方略点评：基本法采用的是求和公式，速解法则为最原始的求和方法，直接看到S6＝126.(2)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：基本法： a3＝a1·q2，a5＝a3·q2＝a1·q4，∴3＋3q2＋3q4＝21∴q4＋q2－6＝0，∴q2＝2∴a3＝3×2＝6，a5＝6×2＝12，a7＝24∴a3＋a5＋a7＝42.速解法：由题意知，a3＋a5＝18，又a3＝a1q2，a5＝a1q4，∴a1q2＋a1q4＝18，∴q4＋q2－6＝0，解得q2＝2或－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝21×2＝42.答案：B方略点评：1基本法是根据等比数列具体求出各项.,速解法是利用了整体思想“a1＋a3＋a5”为整体，技巧性较强.2在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和“隐含”的条件.1．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2B．1C.D.解析：基本法： a3＝a1·q2，a4＝a1·q3，a5＝a1·q4，∴a·q6＝4(a1·q3－1) a1＝，∴q6－16q3＋64＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝a1·q＝.速解法：设{an}的公比为q，由等比数列的性质可知a3a5＝a，∴a＝...
