第5节数学归纳法(选用)考试要求1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.2.数学归纳法的框图表示[常用结论与易错提醒]1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.()解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案(1)√(2)×(3)×(4)×2.(选修2－2P99B1改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.4解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3.答案C3.已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A.f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B.f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C.f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D.f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋解析f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，＝，＝，故f(2)＝＋＋.答案D4.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)，第一步要证的不等式是________.解析当n＝2时，式子为1＋＋<2.答案1＋＋<25.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.解析由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.答案2k＋16.用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________.解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除.答案2x2k－y2k能被x＋y整除考点一用数学归纳法证明代数(或三角)等式【例1】用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n∈N*).证明(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立.(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【训练1】用数学归纳法证明：当n∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z).解(1)当n＝1时，等式右边＝－＝＝＝cosx＝等式左边，等式成立.(2)假设当n＝k时等式成立，即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＝－.那么，当n＝k＋1时，有cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1)x＝－＋cos(k＋1)x＝－＝－＝－＝－.这就是说，当n＝k＋1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任何n∈N*等式都成立.考点二用数学归纳法证明不等式【例2】(2019·浙江卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.(1)解设数列{an}的公差为d，由题意得解得从而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn).解得bn＝(S－SnSn＋2).所以bn＝n2＋n，n∈N*.(2)证明cn＝＝＝，n∈N*.我们用数学...
