考点规范练46双曲线一、基础巩固1.若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(❑√2,+∞)B.(❑√2,2)C.(1,❑√2)D.(1,2)答案C解析由题意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.因为a>1,所以1<1+1a2<2.所以10)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.36答案C解析双曲线的一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a3×13=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18.故选C.4.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x242−y232=1B.x2132−y252=1C.x232−y242=1D.x2132−y2122=1答案A解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242−y232=1.5.设F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.❑√2B.❑√15C.4D.❑√17答案D解析由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b2a2-3·ba=4,解得ba=4(ba=-1舍去).因为双曲线的离心率e=ca=❑√1+b2a2,所以e=❑√17.故选D.6.已知双曲线x2a2−y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.3D.4答案B解析因为双曲线x2a2−y2b2=1的一个焦点为F(2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,所以圆心为F(2,0),半径r=1.所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca=2.7.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为❑√32c,则其离心率的值是.答案2解析双曲线的渐近线为y=±bax,即bx±ay=0.所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为|bc±0|❑√a2+b2=bcc=b,解得b=❑√32c,因此a2=c2-b2=c2-34c2=14c2,a=12c,e=2.8.(2018江西六校联考)双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案9解析由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2b2a+4a=2×12+8=9.9.设A,B分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4❑√3,焦点到渐近线的距离为❑√3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=❑√33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使⃗OM+⃗ON=t⃗OD,求t的值及点D的坐标.解(1)由题意知a=2❑√3,故可得一条渐近线方程为y=b2❑√3x,即bx-2❑√3y=0,所以|bc|❑√b2+12=❑√3.所以b2=3,所以双曲线的方程为x212−y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16❑√3x+84=0,则x1+x2=16❑√3,y1+y2=12.故{x0y0=4❑√33,x0212-y023=1,解得{x0=4❑√3,y0=3.由⃗OM+⃗ON=t⃗OD,得(16❑√3,12)=(4❑√3t,3t),故t=4,点D的坐标为(4❑√3,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2❑√2,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求⃗OA·⃗OB的最小值.解(1)由|PM|-|PN|=2❑√2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=❑√2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=❑√c2-a2=❑√2.所以W的方程为x22−y22=1(x≥❑√2).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=x12−y12=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,所以⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k2m21-k2+m2=2k2+2k2-1=2+4k2-1.又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以⃗OA·⃗OB>2.综上所述,当AB⊥x轴时,⃗OA·⃗OB取得最小值2.二、能力提升...
