第二节点、线、面的位置关系点、线、面的位置关系考向聚焦高考常考点,主要结合线面平行与垂直的判定和性质定理考查点、线、面的位置关系.多以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分备考指津熟记定义、公理和定理,培养空间想象能力1.(年四川卷,理3)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()(A)l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3(B)l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3(C)l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面解析:当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1也可能与l3相交或异面,故A不正确;l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3,故B正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故C不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故D不正确,选B.答案:B.2.(年大纲全国Ⅱ,理11)与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()(A)有且只有1个(B)有且只有2个(C)有且只有3个(D)有无数个解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设空间任一点M(x,y,z),则M到AB、CC1、A1D1的距离为如图中所示ME、MG、MF的长度.设正方体棱长为1,则|ME|2=(1-x)2+z2,|MG|2=(1-y)2+x2,|MF|2=(1-z)2+y2.由|ME|2=|MG|2=|MF|2,得(1-x)2+z2=(1-y)2+x2=(1-z)2+y2,化简可得x=y=z.则M点有无数个,且都在正方体ABCDA1B1C1D1体对角线B1D所在的直线上,故选D.答案:D.异面直线所成的角考向聚焦高考对异面直线所成的角考查较少,主要考查异面直线所成的角的求法.一般以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式出现,分值4~6分3.(年陕西卷,理5,5分)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)解析:设B(0,0,1),则C1(0,2,0),B1(0,2,1),A(2,0,0),=(-2,2,1),=(0,2,-1),cos<,>====.∴直线AB1与直线BC1的夹角的余弦值为.答案:A.4.(年辽宁卷,理8)如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()(A)AC⊥SB(B)AB∥平面SCD(C)SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析:由题图AB与SC所成的角为∠SCD,DC与SA所成的角为∠SAB,两角不相等.故选D.答案:D.5.(年四川卷,理14,4分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则M(0,1,0),N(0,2,1).A1(2,0,2),D(0,0,0).∴=(-2,1,-2),=(0,2,1),∴·=1×2-2×1=0,∴⊥,∴A1M⊥DN.即两直线A1M与DN所成的角是90°.答案:90°6.(年上海数学,理19,12分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.解:(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,从而CD⊥PD.因为PD==2,CD=2,所以三角形PCD的面积为×2×2=2.(2)法一:如图所示,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,,1),=(1,,1),=(0,2,0).设与的夹角为θ,则cosθ===,θ=.由此知,异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二:取PB中点F,连接EF、AF,则EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在△AEF中,由EF=、AF=、AE=2知△AEF是等腰直角三角形.所以∠AEF=.因此,异面直线BC与AE所成的角的大小是.
