17直线方程与圆的方程1.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线,则1+2aa+2+bb(a>0,b>0)的最小值为().A.11B.10C.6D.4解析▶由题意知,kAB=kBC,所以2a+b=1,所以1+2aa+2+bb=3+1a+2b=3+(1a+2b)(2a+b)=3+4+4ab+ba≥7+2❑√4ab·ba=11,当且仅当a=14,b=12时等号成立,故选A.答案▶A2.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=❑√33x对称的圆的方程是().A.(x-❑√3)2+(y-1)2=4B.(x-❑√2)2+(y-❑√2)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-❑√3)2=4解析▶设所求圆的圆心为(a,b),则{b2=❑√33×a+22,ba-2=-❑√3,所以{a=1,b=❑√3,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-❑√3)2=4,故选D.答案▶D3.若圆x2+y2+4x-2y-a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2,则实数a=().A.±2B.-2C.±4D.4解析▶圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=5+a2,则圆心坐标为(-2,1),半径r=❑√a2+5.所以圆心到直线x+y+5=0的距离为|-2+1+5|❑√2=2❑√2.由1+(2❑√2)2=5+a2,得a=±2,故选A.答案▶A4.已知AB为圆C:x2+y2-2y=0的直径,点P为直线y=x-1上任意一点,则|PA|2+|PB|2的最小值为.解析▶圆心C(0,1),设∠PCA=α,|PC|=m,则|PA|2=m2+1-2mcosα,|PB|2=m2+1-2mcos(π-α)=m2+1+2mcosα,∴|PA|2+|PB|2=2m2+2.又点C到直线y=x-1的距离d=|0-1-1|❑√2=❑√2,即m的最小值为❑√2,∴|PA|2+|PB|2的最小值为2(❑√2)2+2=6.答案▶6能力1▶会用直线方程判断两条直线的位置关系【例1】已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(m+5)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析▶若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-1或m=-7,经检验,当m=-1时,l1与l2重合,∴m=-7,故“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件,故选A.答案▶A(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两条直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.设a∈R,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析▶若两条直线平行,则a1=1a≠-11,解得a2=1,且a≠-1,所以a=1,即“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的充要条件,故选C.答案▶C能力2▶会结合平面几何知识求圆的方程【例2】若圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是().A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0解析▶设圆心为(0,b),半径为r,则r=|b|,故圆的方程为x2+(y-b)2=b2. 点(3,1)在圆上,∴9+(1-b)2=b2,解得b=5.∴圆的方程为x2+y2-10y=0,故选B.答案▶B确定圆心位置的方法:(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是().A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1解析▶设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则{x=4+x02,y=-2+y02,解得{x0=2x-4,y0=2y+2.因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.答案▶A能力3▶会用几何法求直线与圆中的弦长问题【例3】若直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦最短,则直线l的方程是().A.x=0B.y=1C.x+y-1=0D.x-y+1=0解析▶依题意,直线l:y=kx+1过定点P(0,1),圆C:x2+y2-2x-3=0化为标准方程为(x-1)2+y2=4,故圆心为C(1,0),半径r=2,则易知定点P(0,1)在圆内,由圆的性质可知当PC⊥l时,此时直线l:y=kx+1被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长最短.因为kPC=1-00-1=-1,所以直线l的斜率k=1,即直线l的方程是x-y+1=0,故选D.答案▶D有关弦长问题的两种求法:如图所示,设直线l被圆C截得的弦为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则有关系式:|AB|=2❑√r2-d2若斜率为k的直线与圆相交于A(xA,yA),B(xB,yB)两点,则|AB|=❑√1+k2·❑√(xA+xB)2-4xA·xB=❑√1+1k2·❑√(yA+yB)2-4yA·yB,其中k≠0.特别地,当k=0时,|AB|=|xA-xB|;当斜率不存在时,|AB|=|yA-yB|过点(2,0)引直线l与圆x2+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB面积取...
