第八节曲线与方程☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程。2016，全国卷Ⅲ，21,12分(求轨迹方程)2015，湖北卷，21(1)，5分(求曲线方程)2015，全国卷Ⅰ，20(1)，5分(求曲线方程)2013，全国卷Ⅰ，10,5分(求曲线方程)曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他性质进行综合考查。微知识小题练自|主|排|查1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2．求动点的轨迹方程的基本步骤(1)建系：建立适当的平面直角坐标系；(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)；(3)列式：列出或找出动点P满足的等式；(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程；(5)验证：验证所求方程即为所求的轨迹方程。3．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。微点提醒1．求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系。检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义。2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等。3．求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系。(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合。(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化。小|题|快|练一、走进教材1．(必修2P124B组T1改编)等腰三角形ABC，若一腰的两个端点坐标分别是A(4,2)，B(－2,0)，A是顶点，则另一个点C的轨迹方程为()A．x2＋y2－8x－4y＝0B．x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)C．x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠10，x≠－2)D．x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠10，x≠－2)【解析】设另一个点的坐标为C(x，y)，则(x－4)2＋(y－2)2＝40，x≠10，x≠－2。整理得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠10，x≠－2)。故选B。【答案】B2．(选修2－1P36例3改编)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解析】依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线。故选D。【答案】D二、双基查验1．方程(x2＋y2－4)＝0的曲线形状是()【解析】由题意可得x＋y＋1＝0或它表示直线x＋y＋1＝0和圆x2＋y2－4＝0在直线x＋y＋1＝0右上方的部分。故选C。【答案】C2．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x【解析】设点P(x，y)，则Q(x，－1)。 QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。故选A。【答案】A3．和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为________。【解析】设点的坐标为(x，y)，由题意知()2＋()2＝c，即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0。【答案】2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝04．MA和MB分别是动点M(x，y)，与两定点A(－1,0)和B(1,0)的连线，则使∠AMB为直角的动点M的轨迹方程是________。【解析】点M在以A、B为直径的圆上，但不能是A、B两点。【答案】x2＋y2＝1(x≠±1)5．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物...
