课时作业(四十四)[第44讲空间向量及其运算和空间位置关系](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2014·宁化模拟]若向量a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a∥b，则()A．x＝1，y＝1B．x＝，y＝－C．x＝，y＝－D．x＝－，y＝2．已知向量a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A.B.C.D.3．[2014·沈阳调研]如图K441所示，空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c.点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN等于()图K441A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c4．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于()A.B.C.D.5．[2014·广州模拟]若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________．6．[2014·陕西八校联考]在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为________．能力提升7．[2014·威海模拟]已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为A1C1的中点，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝18．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)9．[2014·晋中调研]如图K442所示，已知空间四边形OABC中，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC，则OA，CB的夹角θ的余弦值为()1图K442A．0B.C.D.10．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两之间的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|等于()A．5B．6C．4D．811．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足OA＝2a＋b，OB＝3a－b，则△OAB的面积为()A.B.C.D.12．[2014·南昌模拟]已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．13．已知ABCDA1B1C1D1为正方体，有下列命题：①(A1A＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|(AB·AA1)AD|.其中真命题的序号是________．14．(10分)如图K443所示，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．图K44315．(13分)[2014·汕头模拟]如图K444所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：ME⊥平面BCC1B1.图K444难点突破16．(12分)如图K445所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；2(3)证明：AA1⊥BD.图K445课时作业(四十四)1．C2.C3.B4.D5.26.7.C8．B9.A10.A11.B12.60°13.①②14．解：(1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意，可知|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.∵CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a，∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0，∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.(2)∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝|a|，|CE|＝|a|，∴AC′·CE＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，∴cos〈AC′，CE〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.15．证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，E(3，0，1)，F(0，3，2)，D1(3，3，3)，则BE＝(3，0，1)，BF＝(0，3，2)，BD1＝(3，3，3)．因为BD1＝BE＋BF，所以BD1，BE，BF共面．又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面．(2)设M(0，0，z0)，G，则GM＝，而BF＝(0，3，2)，由题设得GM·BF＝－×3＋z0·2＝0，解得z0＝1，故M(0，0，1)，ME＝(3，0，0)．又BB1＝(0，0，3)，BC＝(0，3，0)，所以ME·BB1＝0，ME·BC＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC.3又BB1∩BC＝B，所以ME⊥平面BCC1B1.16．(1)AC1的长为(2)余弦值为(3)略4
