层级快练(六十四)1．(2017·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A.B．6C．8D．12答案B解析由题意得F(－1，0)，设P(x，y)，则OP·FP＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故＋＝1，所以x2＋x＋3－x2＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，(x＋2)2＋2取得最大值6，即OP·FP的最大值为6.2．(2018·四川成都七中模拟)若直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F交抛物线C于A，B两点，则＋的取值范围为()A．{1}B．(0，1]C．[1，＋∞)D．[，1]答案A解析由题意知抛物线C：y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.设过点F的直线l的斜率k存在，则直线的方程为y＝k(x－1)．代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴＋＝＋＝＝1.当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2，∴＋＝1.故选A.3．(2018·云南曲靖一中月考)已知点P为圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为6.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则|AB|的最小值是________．答案2解析由C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，由圆上动点P到某直线l的最大距离为6，可知圆心C(1，2)到直线l的距离为4.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则要使|AB|最小，需AC⊥l，∴|AB|的最小值是＝2.4．(2018·河南新乡一调)设O为坐标原点，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，抛物线C2：x2＝－ay的准线方程为y＝.(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C1交于不同的两点P，Q，若O在以PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围．答案(1)＋y2＝1(2)k∈(－2，－)∪(，2)解析(1)由题意得＝，∴a＝2，故抛物线C2的方程为x2＝－2y.又e＝，∴c＝，∴b＝1，从而椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)显然直线x＝0不满足条件，故可设直线l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0. Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，∴k∈(－∞，－)∪(，＋∞)，x1＋x2＝，x1x2＝，根据题意，得0<∠POQ<⇔OP·OQ>0，∴OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k×＋4＝>0，∴－2b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若P，Q的中点为N，在线段OF2上是否存在点M(m，0)，使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案(1)＋＝1(2)存在理由略解析(1)由e＝得a＝2c.由|AF1|＝2得|AF2|＝2a－2.由余弦定理得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos∠F1AF2＝|F1F2|2，即a2－3a＋3＝c2，解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)存在这样的点M符合题意．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)．由F2(1，0)，设直线PQ的方程为y＝k(x－1)，由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，得x1＋x2＝，故x0＝＝.又点N在直线PQ上，所以y0＝，所以N(，)．因为MN⊥PQ，所以kMN＝＝－，整理得m＝＝∈(0，)．所以在线段OF2上存在点M(m，0)，使得MN⊥PQ，m的取值范围为(0，)．1．(2018·山西五校联考)设点F为椭圆C：＋＝1(m>0)的左焦点，直线y＝x被椭圆C截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)圆P：(x＋)2＋(y－)2＝r2(r>0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．答案(1)＋＝1(2)(，]解析(1)由得x2＝y2＝，故2＝2＝，解得m＝1，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又所以＋＝0，则(x1－x2)－(y1－y2)＝0，故kAB＝＝1.所以直线AB的方程为y－＝x＋，即y＝x＋，代入椭圆C的方程并整理得7x2＋8x＝0，则x1＝0，x2＝－.又F(－1，0)，直线FM的斜率大于1，则直线FM的斜率k∈[，＋∞)．设FM：y＝k(x＋1)，由得(...
