专题跟踪训练(十六)平面向量一、选择题1．(2018·昆明模拟)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝a，AC＝b，则DE＝()A.a＋bB.a－bC．－a－bD．－a＋b[解析]DE＝DC＋CE＝BC＋CA＝(AC－AB)－AC＝－AB－AC＝－a－b，故选C.[答案]C2．(2018·吉林白城模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A.B．2C．－D．－2[解析]由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－，故选C.[答案]C3．已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0.故选B.[答案]B4．(2018·郑州一中高三测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于()A.B.C.D．4[解析]依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.[答案]C5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(AB－2BC)·(3BC＋4CA)＝()A．－B．－C．－6－D．－6＋[解析](AB－2BC)·(3BC＋4CA)＝3AB·BC－6BC2＋4AB·CA－8BC·CA＝3|AB|·|BC|·cos120°－6|BC|2＋4|AB|·|CA|cos120°－8|BC|·|CA|·cos120°＝3×1×1×－6×12＋4×1×1×－8×1×1×＝－－6－2＋4＝－，故选B.[答案]B6．(2018·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A.B.C．1D.[解析]DE＝DA＋DO＝DA＋DB＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.[答案]A7．(2018·山西四校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝()A.AB－ADB.AB－ADC．－AB＋ADD．－AB＋AD[解析]解法一：如图，取AB的中点G，连接DG、CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC＝GD＝AD－AG＝AD－AB，∴AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋＝AB＋AD，于是BF＝AF－AB＝AE－AB＝－AB＝－AB＋AD，故选C.解法二：BF＝BA＋AF＝BA＋AE＝－AB＋＝－AB＋＝－AB＋AD＋AB＋(CD＋DA＋AB)＝－AB＋AD.[答案]C8．(2018·河南郑州二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为()A．－2B．3－C．－1D．0[解析]由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令OA＝a，OB＝b，以OA的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝OA＝(1,0)，b＝OB＝，设c＝OC＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.[答案]B9．(2018·安徽江南十校联考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且BN＝2NC，O为△ABC的外心，则AN·AO的值为()A．8B．10C．18D．9[解析]由于BN＝2NC，则AN＝AB＋AC，取AB的中点为E，连接OE，由于O为△ABC的外心，则EO⊥AB，∴AO·AB＝·AB＝AB2＝×62＝18，同理可得AC·AO＝AC2＝×32＝，所以AN·AO＝·AO＝AB·AO＋AC·AO＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.[答案]D10．(2018·山西太原模拟)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果OD＋DE＋DF＝0，且|OD|＝|DF|，则向量EF在FD方向上的投影为()A．6B．－6C．2D．－2[解析]由OD＋DE＋DF＝0得，DO＝DE＋DF.∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.连接OF， |OF|＝|OD|＝|DF|＝4，∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4.∴向量EF在FD方向上的投影为|EF|·cos〈EF，FD〉＝4cos150°＝－6，故选B.[答案]B11．(2018·湖北黄冈二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值与最小值的和为()A．0B.C.D.[解析] a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，a与b的夹角为60°.设OA＝a，OB＝b，OC＝c，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝，b＝(1,0)．设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－1，y－)，c－b＝(x－1，y)．又 (c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－)＝0.即(x－1)2＋2＝，∴点C...
