第二节坐标系与参数方程(选修44)极坐标系与极坐标考向聚焦重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化,主要以选择题、填空题的形式出现,难度不大,分值5分左右备考指津(1)简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出,也可通过极坐标方程与直角坐标方程的互化得出;(2)通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的异同,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的重要性1.(年陕西卷,文15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.解析:化极坐标为直角坐标得直线x=,圆(x-1)2+y2=1,由勾股定理可得相交弦长为2×=.答案:2.(年湖南卷,文10,5分)在极坐标系中,曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=.解析:将极坐标方程化成直角坐标方程,C1:x+y-1=0,C2:x2+y2=a2,交点在极轴上,则y=0,x=,即交点坐标为(,0),代入C2方程可得a=.答案:极坐标系中交点问题常常化成直角坐标方程求解.然本题也可直接在极坐标系中求解如下:交点在极轴上,则θ=2kπ,于是cosθ=1,sinθ=0,代入C1得ρ=,故a=.3.(年湖南卷,文9)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为ρ(cosθ-sinθ)+1=0,则C1与C2的交点个数为.解析:曲线C1化为普通方程+=1是椭圆,对曲线C2:ρ(cosθ-sinθ)+1=0,∴ρcosθ-ρsinθ+1=0,∴x-y+1=0是直线,而直线x-y+1=0与椭圆+=1有两个交点.答案:24.(年广东卷,文15)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ(cosθ+sinθ)=1与ρ(sinθ-cosθ)=1的交点的极坐标为.解析:曲线ρ(cosθ+sinθ)=1化为直角坐标方程为x+y=1,曲线ρ(sinθ-cosθ)=1化为直角坐标方程为y-x=1.由得交点为(0,1),化为极坐标为(1,).答案:(1,)5.(年辽宁卷,文23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解:(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ,解,得ρ=2,θ=±,故圆C1与圆C2交点的坐标为(2,),(2,-).注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一:由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为,-≤t≤.(或参数方程写成,-≤y≤)法二:将x=1代入得ρcosθ=1,从而ρ=,于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为,-≤θ≤.6.(年浙江自选模块卷,04)如图,在极坐标系Ox中,已知曲线C1:ρ=4sinθ(≤θ≤),C2:ρ=4cosθ(≤θ≤或<θ≤2π),C3:ρ=4(0≤θ≤).(1)求由曲线C1,C2,C3围成的区域的面积;(2)设M(4,),N(2,0),射线θ=α(ρ≥0,<α<)与曲线C1,C2分别交于A,B(不同于极点O)两点.若线段AB的中点恰好落在直线MN上,求tanα的值.解:(1)由已知,如图弓形OSP的面积=×π×22-×22=π-2,从而,如图阴影部分的面积=×π×22-2(π-2)=4,故所求面积=π×42+×π×22-4=6π-4.(2)设A(ρA,α),B(ρB,α),AB的中点为G(ρ,α),∠ONG=φ.由题意ρ==2sinα+2cosα,sinφ=,cosφ=.在△OGN中,=,即=.所以sinα+cosα==.化简得sin2α-3sinαcosα=0,又因为sinα≠0,所以tanα=3.参数方程考向聚焦参数方程与普通方程的互化是高考考查的重点和热点问题,同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识,主要以填空题与解答题的形式出现,且解答题常将参数方程与极坐标方程融合在一起综合考查,属中低档题目,每年高考分值占5~10分备考指津(1)能选择恰当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程,并能利用参数方程解决一些几何问题(如求角、距离、弦长、面积、最值等);(2)参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数,此时要注意其中x,y的取值范围,保证互化前后方程的等价性,常用的消参技巧有:代入消元、加减消元、平方后相加减消元等7.(年湖南卷,文4)极坐标方程ρ=cosθ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()(A)直线、直线(B)直线、圆(C)圆、圆(D)圆、直线解析: ρ=cosθ,∴ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x,即(x-)2+y2=,∴ρ=cosθ所表示的图形是圆.由(t为参数),消参得x+y=1.∴参数方程(t为参...
