第2章函数、导数及其应用第11讲第3课时A组基础关1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是()A.3B．2C．1D．0答案C解析设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6<0，极小值为f(3)＝－10<0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.2.(2019·天津调研)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于()A.－2或2B．－9或3C.－1或1D．－3或1答案A解析y′＝3x2－3.由y′＝0得x＝±1，容易判断出函数y＝x3－3x＋c在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，当x＝－1时，取得极大值2＋c；当x＝1时，取得极小值－2＋c，若函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则2＋c＝0或－2＋c＝0，故c＝－2或2.3.若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围为()A.(－∞，1]B．[1，＋∞)C.(－∞，－1]D．[－1，＋∞)答案A解析由ex≥k＋x，得k≤ex－x.令f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.当f′(x)<0时，解得x<0；当f′(x)>0时，解得x>0.∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．∴f(x)min＝f(0)＝1.∴实数k的取值范围为(－∞，1]．故选A.4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A.30元B．60元C．28000元D．23000元答案D解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.5.设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为()A.1B.C.D.答案D解析由已知条件可得|MN|＝t2－lnt，设f(t)＝t2－lnt(t>0)，则f′(t)＝2t－，1令f′(t)＝0，得t＝，当0
时，f′(t)>0，所以当t＝时，f(t)取得最小值，即|MN|取得最小值时t＝.6.已知方程ln|x|－ax2＋＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析由于y＝ln|x|－ax2＋是偶函数，所以方程lnx－ax2＋＝0(x＞0)有两个根，即a＝有两个根．设f(x)＝，则f′(x)＝＝－，∴00，f(x)递增，x>时，f′(x)<0，f(x)递减，x＝时，f(x)取得极大值也是最大值f＝.又x→＋0时，f(x)→－∞，x→＋∞时，f(x)→0，所以要使a＝有两个根，则0－5，即a<5；设h(x)＝－x2＋，导数为h′(x)＝－2x－，当x∈[1,2]时，h′(x)<0，即h(x)在[1,2]上单调递减，可得h(x)max＝－1＋2＝1.即有－a<1，即a>－1.综上可得，a的取值范围是－1；③f(x0)＋x0<0；④f(x0)＋x0>0.其中正确的命题是________．(填出所有正确命题的序号)2答案①③解析 函数f(x)＝xlnx＋x2(x>0)，∴f′(x)＝lnx＋1＋x，易得f′(x)＝lnx＋1＋x在(0，＋∞)递增，∴f′＝>0， x→0，f′(x)→－∞，∴0
